Tres números están en progresión aritmética y sus cuadrados están en progresión geográfica.¿cuáles son los tres numeros,si suman 3?
Respuestas
Respuesta:
2. La suma de cuatro n´umeros en P.A. es 24 y la suma de sus cuadrados
es 164. Determine los n´umeros.
Soluci´on. Los n´umeros a − d, a, a + d, a + 2d est´an en P.A.
Por hip´otesis la suma de los cuatro n´umeros es 24, es decir
24 = (a − d) + a + (a + d) + (a + 2d) = 4a + 2d
y la suma de los cuadrados satisface
164 = (a − d)
2 + a
2 + (a + d)
2 + (a + 2d)
2
= (a
2 − 2ad + d
2
) + a
2 + (a
2 + 2ad + d
2
) + (a
2 + 4ad + 4d
2
)
= 4a
2 + 6d
2 + 4ad
y tenemos el siguiente sistema
4a + 2d = 24 (1)
4a
2 + 6d
2 + 4ad = 164 (2)
Despejadando en la ecuaci´on (1) obtenemos d = 12−2a y remplazando
en (2), tenemos
164 = 4a
2
6(12 − 2a)
2 + 4a(12 − 2a)
= 4a
2 + 6(144 − 48a + 4a
2
) + 48a − 8a
2
= 4a
2 + 854 − 288a + 24a
2 + 48a − 8a
2
= 20a
2 − 240a + 864
lo que implica que 20a
2 − 240a + 700 = 0 dividiendo por 20 obtenemos
la ecuaci´on equivalente a
2 − 12a + 35 = 0 es decir (a − 7)(a − 5) = 0.
Por lo tanto,
(a = 7) ´o (a = 5) ⇒ (d = 12 − 2 · 7 = −2) ´o (d = 12 − 2 · 5 = 2) .
y los n´umeros en P.A. son:
9; 7; 5; 3 ´o bien 3; 5; 7; 9 .
Explicación paso a paso:
YA CRACK :D