¿Me pueden plantear como se resuelve?
Debe construirse una caja con su parte superior abierta a partir
de un trozo rectangular de cartón que tiene las dimensiones de
12 pulgadas por 20 pulgadas, recortando cuadrados iguales
de lado x en cada una de las esquinas y, a continuación, doblando
los lados como se ilustra en la figura. Exprese el volumen V
de la caja como función de x.
Respuestas
Largo:20-X-X=20-2X
Ancho:12-X-X=12-2X
Y puesto que el volumen es el producto de las tres dimensiones, entonces:
V(X)=X(20-2X)(12-2X)
V(X)=(20X-2X^2)(12-2X)
V(X)=240X-40X^2-24X^2+4X^3
V(X)=240X-64X^2+4X^3
Ordenando:
V(X)=4X^3-64X^2+240X
Espero te sea de ayuda
Respuesta:
La longitud de la caja será de 20 - 2x pulgadas
El ancho de la caja será de 12 - 2x pulgadas
La altura de la caja será de x pulgadas
por tanto el volumen será
V = largo × ancho × alto
V = (20 - 2x) pulgadas * (12 - 2x) pulgadas * x pulgadas
V = (20 - 2x)(12 - 2x).x pulgadas³
V = (20 - 2x)(12x - 2x²) pulgadas³
V = (240x - 40x² - 24x² + 4x³) pulgadas³
V = (240x - 64x² + 4x³) pulgadas³
Resuelto el literal A).
V > 200 pulg³
(240x - 64x² + 4x³) pulg³ > 200 pulg³
(240x - 64x² + 4x³ - 200) pulg³ > 0
4(60x - 16x² + x³ - 50) pulg³ > 0
(4/4)(60x - 16x² + x³ - 50) pulg³ > 0/4
(60x - 16x² + x³ - 50) pulg³ > 0
Esta función cúbica tiene 3 raíces irracionales que son:
x1 = 1,1738
x2 = 3,8979
x3 = 10,9284
Como "x" nos da el tamaño del lado del cuadrado que hay que cortar en cada esquina de la pieza rectangular de cartón, debemos entonces descartar x3 porque de una pieza de 20 pulgadas o de 12 pulgadas no podemos cortar 2 esquinas de 10,9284 pulgadas cada una.
Esa función cúbica es positiva (lo que buscamos) para valores de "x" ubicados entre x1 y x2, lo que significa que el volumen de la caja será mayor a 200 pulg³ si el corte que hacemos en cada esquina está entre 1,1738 pulg y 3,8979 pulg. Por ejemplo, si ese corte fuese de 2 pulg tendríamos:
V = [ 20 - 2(2) ] pulg × [ 12 - 2(2) ] pulg × 2 pulg
V = (20 - 4)(12 - 4)(2) pulg³
V = 16(8)(2) pulg³
V = 256 pulg³
lo cual es, en efecto, mayor que 200 pulg³. Repito: cualquier valor del intervalo (x1, x2) sirve. Si pruebas con otro valor de fuera de ese intervalo (como por ejemplo x = 1 ó x = 4) obtendrás que el volumen es menor a 200 pulg³.
Resuelto el literal B).
El volumen más grande que puede tener la caja se obtiene derivando e igualando a 0:
V ' = (240x - 64x² + 4x³) '
V ' = 240 - 128x + 12x²
Igualamos a 0,
V ' = 0
240 - 128x + 12x² = 0
4(60 - 32x + 3x²) = 0
60 - 32x + 3x² = 0
Resolvemos la cuadrática quedando
x1 = (16 + 2√19) / 3
x2 = (16 - 2√19) / 3
y por tanto esos dos son los puntos críticos de la función "volumen de la caja". Veamos cuál nos da un máximo (nos piden hallar "el volumen más grande" de la caja), aplicando el criterio de la segunda derivada:
V " = (V ' ) '
V " = (240 - 128x + 12x²) '
V " = -128 + 24x
Evaluamos en x1,
V "(x1) = -128 + 24x1
V "(x1) = -128 + 24[ (16 + 2√19) / 3 ]
V "(x1) = -128 + 8(16 + 2√19)
V "(x1) = -128 + 128 + 16√19
V "(x1) = 16√19
y vemos que el resultado es positivo, entonces x1 es un mínimo y por consiguiente no nos sirve.
Evaluemos en x2,
V "(x2) = -128 + 24x2
V "(x2) = -128 + 24[ (16 - 2√19) / 3 ]
V "(x2) = -128 + 8(16 - 2√19)
V "(x2) = -128 + 128 - 16√19
V "(x2) = -16√19
y como el resultado es negativo, entonces concluimos que x2 es un máximo: El volumen más grande que puede tener la caja se da cuando el corte que hacemos en cada esquina mide de lado x2. Ese volumen será:
V = (240x2 - 64x2² + 4x2³) pulgadas³
V = { 240[ (16 - 2√19) / 3 ] - 64[ (16 - 2√19) / 3 ]² + 4[ (16 - 2√19) / 3 ]³ } pulgadas³
V = { 80(16 - 2√19) - 64[ (16 - 2√19)² / 3² ] + 4[ (16 - 2√19)³ / 3³ ] } pulgadas³
V = { 1280 - 160√19 - 64[ (256 - 64√19 + 76) / 9 ] + 4[ (4096 - 1536√19 + 3648 - 152√19) / 27 ] } pulgadas³
V = { 1280 - 160√19 - 64[ (332 - 64√19) / 9 ] + 4[ (7744 - 1688√19) / 27 ] } pulgadas³
V = { 1280 - 160√19 - [ (21248 - 4096√19) / 9 ] + [ (30976 - 6752√19) / 27 ] } pulgadas³
continúa realizando las operaciones y obtendrás el valor pedido para resolver el literal