Question

1. Estudie los intervalos de crecimiento, extremos e intervalos de concavidad de la función f(x)=x² ℯ∧(-x).

Answer 1

$f(x)=x^2e^{-x}\\ \\ \text{Primera derivada}\\ f'(x)=(2x-x^2)e^{-x}\\ \\ \text{Puntos cr\'iticos:}\\ x(x-2)=0\Longrightarrow x=0\vee x=2\\ \\ \text{Intervalos de crecimiento:}\\ x\in(-\infty,0)\to f'(x)\ \textless \ 0:\text{ decrece }f\\ x\in(0,2)\to f'(x)\ \textgreater \ 0:\text{ crece }f\\ x\in(2,\infty)\to f'(x)\ \textless \ 0:\text{ decrece }f\\ \\ \text{Por ello }x=0\text{ es un m\'inimo y }x=2\text{ es un m\'aximo}$

Observación: x = 0 es un mínimo absoluto y x = 2 un máximo relativo, pues $x^2e^{-x}\geq0$ y 
                              $\lim\limits_{x\to -\infty}x^2e^{-x}=+\infty$

$f'(x)=(2x-x^2)e^{-x}\\ \\ \text{Segunda derivada}\\ f''(x)=(x^2-4x+2)e^{-x}\\ \\ \text{Puntos cr\'iticos:}\\ x=2\pm\sqrt{3}\\ \\ \text{Intervalos de concavidad:}\\ x\in(-\infty,2-\sqrt{3})\to f''\ \textgreater \ 0,\text{ entonces f es c\'oncava hacia arriba}\\ x\in(2-\sqrt{3},2+\sqrt{3})\to f''\ \textless \ 0,\text{ entonces f c\'oncava hacia abajo}\\ x\in(2+\sqrt{3},+\infty)\to f''\ \textgreater \ 0,\text{ entonces f es c\'oncava hacia arriba}\\ \\ \text{Por tales razones }x=2\pm\sqrt{3}\text{ son puntos de inflexi\'on}$