Question

Si los números que representan la medida de un ángulo en los sistemas sexagesimales y centesimales son pares consecutivos el valor del complemento del ángulo expresado en radianes es:

a)π/20 rad d) 7π/40 rad

b)π/5 rad e)2π/5 rad

c)3π/20 rad

Answer 1

Para resolver este ejercicio hay que tener claro el concepto de grados sexagesimales y centesimales y para ello recordaremos los dos casos:

• Si dividimos la circunferencia en 360 partes iguales, cada una de esas partes es UN GRADO SEXAGESIMAL.

• Si dividimos la circunferencia en 400 partes iguales, cada una de esas partes es UN GRADO CENTESIMAL

De ahí podemos establecer una correlación o razón entre ambas magnitudes.

Razón de grado sexagesimal a centesimal = 360/400, y si esa fracción la llevamos a su irreducible dividiendo numerador y denominador por su máximo común divisor que es 40,  resulta = 9/10

Aparcamos este razonamiento.

Ahora hay que recordar cómo expresamos algebraicamente un número par  y es de este modo:  2x

Eso nos dice que PARA CUALQUIER VALOR QUE LE DEMOS A "X", al multiplicarlo por 2, el resultado será par.

Y como consecuencia, si a ese número le sumamos 2 unidades, obtendremos el número par consecutivo, ok? así que el par consecutivo de 2x siempre es 2x+2, ok?

Y ahora toca unir ambos conceptos a partir del texto del ejercicio:  

• grados sexagesimales
• grados centesimales
• número par
• número par consecutivo

Y así se nos construye esta proporción:

2x   es a   9   como   2x+2   es a   10

$\dfrac{2x}{9} =\dfrac{2x+2}{10} \\ \\ 20x=18x+18\\ \\ 2x=18\\\\x=9$

Si  x=9, el ángulo expresado en el sistema sexagesimal lo obtengo sustituyendo ese valor en la expresión inicial que era 2x :

Ángulo en sexagesimal = 2·9 = 18º sexagesimales

Lo mismo para el ángulo expresado en el sistema centesimal:

Ángulo en centesimal = 2·9 +2 = 18+2 = 20 grados centesimales

(Se comprueba que ambos números son pares consecutivos)

El ejercicio pide expresar en radianes el ángulo complementario al obtenido y usaré los grados sexagesimales porque son los más utilizados para la conversión.

El complementario de 18º es la diferencia entre esa medida y 90º

90 - 18 = 72º es el ángulo a expresar en radianes

La fórmula de conversión dice:

$1\º=\dfrac{\pi }{180}\ radianes$

Por tanto, 72º son:

$72\º=\dfrac{72\pi }{180}\ radianes\ ...\ simplificando\ ...\\ \\ \\ \dfrac{72\pi }{180}=\boxed{\bold{\dfrac{2\pi }{5}}} \ radianes$

Opción e)