Question

Desde lo alto de un edificio de 60 metros con la ayuda de un teodolito se mide un ángulo de 15° sobre la horizontal y una distancia de 4 kilómetros hacia una Iglesia. Luego, se gira el teodolito un ángulo de 120 grados y se mide un ángulo de depresión de 12° hacia una casa, estimándose una distancia de 6 kilómetros. Determinar: a) La distancia entre la casa y la iglesia b) La posición de la casa respecto a la iglesia.

Answer 1

La distancia entre la casa y la iglesia es igual a IDI = 11.56Km

La posición de la casa respecto a la iglesia esta hacia el Nor-Oeste formando un angulo de α = 23.6° con respecto al eje Norte-Sur

Primero debemos definir la dirección relativa entre el teodolito, la Iglesia y la casa:

La iglesia esta hacia la dirección Sur del Teodolito y la casa al Nor-Oeste.

Ubicamos al teodolito en el origen de un sistema cartesiano de tres dimensiones "X", "Y" y "Z".

Definimos las coordenadas de La Iglesia y de la casa:

Iglesia:

(0 i^ + 4Km j^ + 4Km/cos(15°) z^)

(0 i^ + 4Km j^ + 4.14Km z^)

Casa:

( - 6Km*cos(30°) i^ + 6Km*sen(30°) j^ - 6Km/cos(12°) k^)

( - 5.20Km i^ + 3Km j^ - 6.13Km k^)

La distancia entre la casa y la iglesia es el modulo del vector diferencia del vector posición de la Iglesia menos el vector posición de la casa:

Calculamos el vector posición de la casa con respecto a la iglesia:

D = (- 5.20Km - 0) i^  +  (3Km - 4Km) j^  + (- 6.13Km- 4.14Km) z^

D = ( - 5.20Km i^  - 1 Km j^ - 10.27Km) z^ )

El modulo de este vector es la distancia entre la casa y la iglesia:

IDI = √ (X² + Y² + Z²)

IDI = √(  (- 5.20Km)² + (- 1 Km)² + (- 10.27Km)²  )

IDI = √(  (27.04Km² + 1 Km² + 105.47Km²  )

IDI = 11.56Km

Podemos hallar la proyección del vector IDI en el plano "X-Y" usando el teorema del coseno:

d² = d1² + d2² - 2*d1*d2*cos(120°)

d² = (4Km)² + (6Km)² - (2 * 4Km * 6Km * (-0.5))

d² = 76Km²

d = 8.72Km

Ahora hallamos el angulo que forma el vector posición de la casa con respecto a la iglesia con respecto al eje"Y" negativo, usando el teorema del seno:

d / sen(120°) = d1 / sen(α)

8.72Km / 0.87 = 4Km /  sen(α)

sen(α) = 0.40

α = 23.6°