Question

A una distancia de 10 m de la base de un arbol. la punta de este se observa bajo un angulo de 23, Calcula la altura del arbol

Answer 1

La altura del árbol es de aproximadamente 4,24 metros.

Procedimiento:

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

En nuestro imaginario triángulo rectángulo este está conformado por el lado AB  (cateto a) que equivale a  la altura del árbol, el lado BC (cateto b) que es la distancia del la base del árbol hacia el observador y el lado AC (c) que representa la la línea de proyección visual desde el observador a la cima del árbol.

Este planteo se puede observar en el gráfico adjunto.

Conocemos la distancia desde la base del árbol hasta el observador y el ángulo de elevación de 23° que se forma cuando la persona mira hacia la cima del árbol.

• Distancia de la base del árbol hasta el observador  = 10 m

• Ángulo de elevación = 23°

• Debemos hallar la altura del árbol = b = AB

Si 23° es uno de los ángulos agudos del triángulo rectángulo,

Y la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto (a ó lado AB) y el cateto adyacente (b ó lado BC)

Como sabemos el valor del cateto adyacente( (b ó lado BC) y del ángulo de elevación, por lo que podemos relacionar ambos mediante la tangente.

Planteamos

$\boxed{ \bold {tan (23)\° = \frac{ cateto\ opuesto }{cateto \ asyacente } = \frac{AB}{BC} }}$

$\boxed{ \bold {tan (23)\° = \frac{ altura\ del \ arbol\ }{distancia\ del\ arbol\ a\ observador } = \frac{AB}{BC} }}$

$\boxed{ \bold { AB = altura\ del \ arbol= \ tan (23)\° \ .\ distancia\ del\ arbol\ a\ observador }}$

$\boxed{ \bold { AB = altura\ del \ arbol= \ tan (23)\° \ .\ 10\ metros }}$

$\boxed{ \bold { AB = altura\ del \ arbol= 0,42447\ .\ 10\ metros }}$  

$\boxed{ \bold { AB = altura\ del \ arbol= 4,24\ metros }}$