Question

3. En el triángulo equilátero ABC de lado a, se inscribe un rectángulo. Determinar la medida de la base del rectángulo en función del lado a, que hace que su área sea máxima.

Answer 1

Veamos. Debes hacer la gráfica.

El ángulo interior del triángulo es 60°

Marcamos un segmento que llamaremos x sobre la base del triángulo, simétrico entre los vértices. Levantamos las ordenadas por los extremos de x, que se llamarán y

La superficie del rectángulo es entonces S = x y

Hay que hallar la relación entre x e y

Los segmentos que quedan entre cada vértice y el segmento x mide:

(a - x) / 2

De la figura se deduciría que y = (a - x) /2 tg60° = √3/2 (a - x)

Luego S = √3/2 x (a - x) = √3/2 (a x - x²)

Derivamos respecto de x: S' = √3/2 (a - 2 x) = 0 (condición de máximo o mínimo)

Hay máximo si la segunda derivada es negativa:

S'' = - √3 (máximo)

Luego x = a / 2 corresponde con la base del rectángulo

Resulta entonces y = √3/2 (a - a/2) = √3/4 a

El área máxima es S = √3/8 a²

Saludos Herminio