Question

Se dice que Guillermo Tell atravesó con una flecha una manzana colocada sobre la cabeza de
su hijo. Si la rapidez inicial de la flecha disparada fue de 55m/s y el muchacho estaba a 15 m de
distancia. ¿Con qué ángulo de lanzamiento dirigió Guillermo la flecha? Suponga que la flecha y
la manzana están inicialmente a la misma altura sobre el suelo.

Answer 1

Vamos a calcular qué tiempo tarda la flecha en alcanzar la manzana y qué distancia recorre esa flecha en vertical, como consecuencia de la acción de la gravedad.

En dirección horizontal, la flecha sigue un movimiento uniforme, porque la gravedad es vertical:

$v = v_{0x}\ \to\ x = v_{0x}\cdot t\ \to\ t = \frac{x}{v_0x} = \frac{15\ m}{55\ m/s} = 0,27\ s$

En ese tiempo, la flecha habrá recorrido, en la dirección vertical:

$y = \frac{1}{2}g\cdot{t^2} = \frac{1}{2}\cdot 9,8\frac{m}{s^2}\cdot 0,27^2\ s^2 = 0,35\ m$

La flecha ha recorrido 15 m en horizontal y 0,35 m en vertical. El ángulo que cumple esa relación se puede obtener a partir de la tangente de ese ángulo:

$tg\ \alpha = \frac{0,35\ m}{15\ m}\ \to\ arctg\ \alpha = \frac{0,35}{15} = \bf 1,34^{\circ}$

Answer 2

La posición de la flecha es:

x = 55 m/s cosФ . t

y = 55 m/s senФ . t - 1/2 . 9,8 m/s² . t²

Buscamos la forma cartesiana de la ecuación de la trayectoria. Omito las unidades.

Despejamos t de la primera ecuación y reemplazamos en la segunda.

t = x / (55 cosФ)

y = 55 senФ) . x / 55 cosФ - 4,9 [x / (55 cosФ)]²

Reducimos valores numéricos.

y = x tgФ - 0,0016 x² / cos²Ф

Una identidad trigonométrica necesaria: 1 / cos²Ф = 1 + tg²Ф

Reemplazamos:

y = x tgФ - 0,0016 x² (1 + tg²Ф)

Cuando x = 15 m, y = 0; se cancela una de las x

0 = tgФ - 0,0016 . 15 (1 + tg²Ф); quitamos paréntesis y reordenamos:

0,024 tg²Ф - tgФ + 0,024 = 0

Ecuación de segundo grado en tgФ

Resultan:

tgФ = 0,024013; tgФ = 41,642

Nos da dos disparos posibles, uno rasante y el otro por elevación.

Obviamente el disparo es rasante.

tgФ = 0,024013

Respuesta: Ф ≅ 1,3756° ≅ 1° 22 min 32 seg

Saludos.