En el final de un torneo de ajedrez, los cinco finalistas jugaron todos contra todos. Escribe los juegos que deberan realizarse si los jugadores se designan con los digitos 1,2,3,4 y 5.
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Explicación paso a paso:
Introduzcamos el marco teórico para resolver este problema:
La operación factorial de un número n, se escribe n! y se utiliza para denotar el producto de todos los números desde 1 hasta n, de la siguiente manera:
n!=1\times2\times\cdots\times (n-1)\times n
5!=1\times 2\times 3\times 4\times 5=120
Una combinación es una operación matemática entre dos números k y n, se interpreta como la cantidad de formas de llevarme k elementos de entre n, sin repetir. Las combinaciones se representan de la siguiente manera:
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}
Notemos que las combinaciones utilizan el concepto de factorial.
Conociendo la teoría, pasamos a resolver el problema; debemos hallar todos los partidos posibles de modo que ningún jugador juegue dos veces contra el mismo. Esto puede interpretarse como la cantidad de formas que tengo de llevarme 2 entre 18, sin repetir; de esta manera, procedemos a utilizar una combinación, para resolver el ejercicio:
\binom{18}{2}=\frac{18!}{2!\times (18-2)!}
\binom{18}{2}=\frac{18!}{2!\times 16!}
Si cancelamos el 16! con el 18!, equivalentemente nos quedará:
\binom{18}{2}=\frac{17\times 18}{2}
\binom{18}{2}=\frac{306}{2}
\binom{18}{2}=153
Por lo tanto, se deben disputar 153 partidas distintas para que todos los jugadores jueguen una vez con cada uno de sus oponentes, con esto ya queda resuelto el problema.