Question

Ayúdenme a hacer este integral por pasos​

Answer 1

Respuesta:

$\frac{1}{90}ln(x+5)+\frac{1}{10}ln(x-5)-\frac{1}{9}ln(x-4)+c$, donde c es una constante.

Explicación paso a paso:

la integral de la imagen se puede reescribir de la siguiente manera:

$\int\ \frac{1}{(x+5)(x-5)(x-4)} } \, dx$

por lo cual, podemos separar la expresión en cada uno de los términos del denominador así:

$\int\ (\frac{A}{x+5}+\frac{B}{x-5}+\frac{C}{x-4}) \, dx$

para saber el valor de la letras del numerador, multiplicamos cada letra por los denominadores de los fraccionarios restantes, y el resultado lo igualamos a 1 que es el valor del numerador original, así:

$A(x-5)(x-4)+B(x+5)(x-4)+C((x+5)(x-5)=1$

para saber los valores de A, damos los siguientes valores a x: x=-5, x=5, y x=4

si x = -5, entonces:

$A(-5-5)(-5-4)+B(-5+5)(-5-4)+C(-5+5)(-5-5)=1$

resolviendo se tiene:

$A(-10)(-9)+B(0)(-9)+C(0)(-10)=1\\A(90)=1$

despejando A:

$A=\frac{1}{90}$

ahora calculamos el valor para X = 5:

$A(5-5)(5-4)+B(5+5)(5-4)+C(5+5)(5-5)=1$

$A(0)(1)+B(10)(1)+C(10)(0)=1\\10B=1$

despejando B:

$B=\frac{1}{10}$

finalmente calculamos el valor para x = 4$A(4-5)(4-4)+B(4+5)(4-4)+C(4+5)(4-5)=1$

$A(-1)(0)+B(9)(0)+C(9)(-1)=1\\-9C=1$

despejando C:

$C=-\frac{1}{9}$

reemplazando estos valores en la integral se tiene:

$\int\ (\frac{A}{x+5}+\frac{B}{x-5}+\frac{C}{x-4}) \, dx$

$\int\ (\frac{1}{90(x+5)}+\frac{1}{10(x-5)}-\frac{1}{9(x-4)}) \, dx$

ahora, esta integral se puede expresar como la suma de 3 integrales así:

$\int\ \frac{1}{90(x+5)} \, dx +\int\ \frac{1}{10(x-5)} \, dx -\int\ \frac{1}{9(x-4)} \, dx$

en este punto, podemos hacer cada una de las integrales por separado.

Sacamos los valores constantes de cada integral y nos queda asi:

$\frac{1}{90} \int\ \frac{1}{(x+5)} \, dx +\frac{1}{10} \int\ \frac{1}{(x-5)} \, dx -\frac{1}{9} \int\ \frac{1}{(x-4)} \, dx$

Estas integrales se pueden resolver de manera inmediata quedando la solución así:

$\frac{1}{90}ln(x+5)+\frac{1}{10}ln(x-5)-\frac{1}{9}ln(x-4)+c$