Respuestas
Respuesta:Crecimiento o decrecimiento exponencial simple
Dada la ecuación diferencial: dydt=ky , donde k es una constante
Entonces: y=Cekt es una solución a la ecuación diferencial con y=C y t=0 .
Si k>0 0" /> 0" /> : La función y representa crecimiento exponencial (valores crecientes).
Si k<0< 0" />< 0" /> : La función y representa decrecimiento exponencial (valores decrecientes).
Nótese: La formulación anterior para y está expresada con base b=e . La formulación general sería y=Cbktlnb , donde b es cualquier base tal que b>0 0" /> 0" /> y b≠1 .
La afirmación anterior viene de la solución a la ecuación diferencial:
dydt=ky
Separando variables,
dyy=kdt
e integrando ambos lados,
∫dyy=∫kdt ,
nos da
lnyy=kt+C=ekt+C=ekteC=Cekt ⋯The general constant C is used as a replacement for eC.
Aplicaciones de crecimiento y decrecimiento exponencial: Desintegración radioactiva
En física, la desintegración radioactiva es un proceso por el cual un núcleo de átomo inestable pierde energía emitiendo radiación en la forma de radiación electromagnética (como rayos gama) o partículas (como partículas alfa o beta). Durante este proceso, el núcleo continuará desintegrándose en una cadena de desintegraciones hasta que alcance un nuevo núcleo estable (conocido como isótopo). Los físicos miden la tasa de desintegración según el tiempo que le toma a una muestra perder la mitad de su núcelo debido a la desintegración radioactiva. Inicialmente, a medida que el núcleo comienza a desintegrarse, la tasa de cambio empieza siendo rápida y violenta, pero se ralentiza en el tiempo a medida que el núcleo se va desintegrando. La figura siguiente muestra una típica desintegración radioactiva de un núcleo. Como puedes ver, el gráfico tiene la forma de una función exponencial con k<0<
Explicación paso a paso:
Respuesta:
Cuando la tasa de cambio de la cantidad de una sustancia o población es proporcional a la cantidad presente en cualquier momento, decimos que esta sustancia o población está experimentando ya sea crecimiento o decrecimiento, dependiendo del signo de la constante de proporcionalidad. ¿Sabes cómo escribir una ecuación diferencial que exprese esta condición? Este tipo de crecimiento o decrecimiento, común en la naturaleza y en los negocios, se conoce como crecimiento exponencial o decrecimiento exponencial y está caracterizado por cambios rápidos.
Explicación paso a paso: