Question

Medidas de un terreno
1.- Jorge decidió cercar una parte de su terreno, para lo cual compró en oferta 300 m de malla. El deseo de Jorge es abarcar el máximo terreno rectangular posible.



Y



X

Answer 1

Vamos a reescribir la fórmula del perímetro (p=2b + 2h) como una ecuación, donde un lado es x y el otro es 150 - x ( la mitad del perímetro total) igualado a 300

2x + 2(150 - x) = 300

Ahora el área, porque hablamos de terreno máximo:

x (150 - x)

Multiplicamos:

$-x^{2} +150x \\f(x)=-x^{2} +150x$

Derivamos la función:

f'(x) = -2x + 150

Volvemos a derivar:

f''(x) = -2

Calculamos la raíz de f'(x), es decir, donde la función se vuelve cero:

-2x + 150 = 0

-2x = -150

x = 75

Dado que la segunda derivada es menor que cero, esta función solo tiene el máximo que alcanza en 75. El valor del máximo del área es:

$f(75) =- (75)^{2} +150(75)\\f(75) = 5625 m^{2}$

Entonces, la medida de un lado es 75, y del otro 150 - 75 = 75

x = 75

y = 75

Ambos valores son iguales porque en todos los rectángulos con perímetro constante, el cuadrado es el área máxima