un cuerpo oscila con M A S de 30 cm de amplitud y 25 segundos de periodo ¿ Qué velocidad y aceleración lleva cuando se encuentra a 12 cm del punto de equilibrio?
Respuestas
Explicación:
Ejemplo: Al colgar una masa de 100 g su longitud aumenta en 1 cm. Por lo tanto k = 100 N/ m.
Si desde esa posición tiramos hacia abajo, el alargamiento del resorte sólo va a influir en la amplitud de la oscilación, pero no influirá en el período, que viene determinado por la naturaleza del resorte reflejada en k y por la masa que le colgamos.
Problemas de Cinemática del MAS
Repasa las fórmulas, escríbelas en un cuaderno y fíjate cuáles son las magnitudes que relacionan cada una.
Problemas
1.- Una masa de 400 g unida a un resorte de k =100 N/m realiza un M.A.S. de amplitud 4 cm.
a) Escribe la ecuación de su posición en función del tiempo, si empezamos a contar cuando la soltamos desde la posición extrema.
b) Calcula el tiempo que tarda en pasar por primera vez por la posición de equilibrio.
c) ¿Cuánto tarda en llegar desde la posición de equilibrio a una elongación de 2 cm? ¿Y desde 2 cm al extremo?
d) ¿Cuál es la velocidad media para el recorrido que va desde el centro hasta el extremo de la oscilación?
e) ¿Será cero la velocidad media de una oscilación completa?
Solución
a) La masa y la constante del resorte van a determinar la frecuencia de oscilación (período y pulsación).
Sustituyendo obtenemos: w =15,81 rad/s
x = 0,004·cos 15,81·t ; para t = 0 —> x = 4 cm
Podemos poner la función de la elongación en función del seno, si contemplamos un desfase de 90 grados. Por lo tanto, también podría escribirse: x = 0,004· sen (15,81·t + p/2)
b) Desde un extremo (donde la soltamos) hasta la posición de equilibrio tarda un cuarto de período. En este tiempo el punto que describe el movimiento circular auxiliar giró p/2.
Si w = 2p /T —> T = 0,4 s, por lo tanto tarda 0,1 s.
También podemos calcularlo usando el movimiento circular uniforme auxiliar, de velocidad angular "w", que en todo momento tiene una correspondencia con el M.A.S. asociado.
aplicando q = w· t —> p/2 = 15,81· t ——> t = 0,1 s.
c) Para calcular el tiempo que tarda en llegar a la posición 0,02 m, utilizamos la fórmula:
0,02 = 0,04 sen (15,81 ·t) ——> t = 0,033 s.
d) La velocidad no varía linealmente, por lo tanto la velocidad media no se puede hallar aplicando Vm =(Vo + Vf)/2, como haríamos en un caso como el de la gráfica siguiente (ecuación lineal).
veloidad media
En el M.A.S. la velocidad varía según una función seno que va no linealmente de cero al valor máximo.
Para hallar Vm tenemos que calcular la distancia recorrida y dividirla por el tiempo empleado.
Vm= D x / t
La distancia recorrida coincide con el área encerrada en la zona roja del gráfico velocidad -tiempo y es igual a la amplitud"A".
Velocidad media
En este caso Vm= A / (T/4) = 0,04 /0,01 = 4 m/s
e) La velocidad media del ciclo total es igual a la hallada en el apartado anterior para un cuarto de período.
Explicación: Los datos del problema son:
T=25 segundos.
A=30cm×1metro/100cm=0,3metros, unidad de la amplitud para calcular.
X, la elongación es =12cm×1metro/100cm=0,12m, unidad de la elongación para calcular.
El problema pide velocidad y aceleración.
Para calcular la velocidad, hace falta la frecuencia angular, w.
La frecuencia es f=1/T, el periodo es un dato, se sustituye, f=1/25=0,04hz, hercios.
Calculamos w, w=2×π×f, sustituimos datos, w=2×π×0,04, w=0,08π, puede estar así la solución o poner los decimales, aproximando, que salen al hacer 0,08×π.
Para calcular velocidad y aceleración usamos las fórmulas de v=w×√A^2-x^2 y la aceleración, a=-w^2×x.
Primero, calcularemos la aceleración, a=-w^2×x, sustituyes datos, a=(-0,08π)×0,12=0,0076 m/s^2, aproximado, o en notación científica 7,6×10^-3 m/s^2.
La velocidad es, v=w×√A^2-x^2, sustituimos datos, v=0,08π×√0,3^2-0,12^2=0,072m/s o en notación científica v=7,2×10^-2m/s.
Denada por la respuesta.