Una empresa vende cada artículo producido a $6.00 y su costo de producción está dado por la función
() = 0.0022x² + 1.2x + 500.
a) La función de la utilidad de la empresa en términos del número de artículos.
b) El número de artículos que se deben producir y vender para obtener la máxima utilidad.
c)El valor de la máxima utilidad.
Respuestas
Respuesta:
a) La funcion de utilidad de la empresa en terminos de numero de articulos
U(x)= Ingreso I(x) - Costo C(x)
U(x)= (6.00)x - (0.002x² + 1.2x + 500).
U(x)= 6x - 0.002x² - 1.2x - 500.
U(x)= - 0.002x² + 4.8x - 500 Respuesta del inciso A)
b)El número de artículos que se deben producir y vender para obtener la máxima utilidad.
Vamos a utilizar derivadas
U(x)= - 0.002x² + 4.8x - 500
U´(x)= - 0.004x + 4.8 - 0 = 0
U´(x)= 4.8 = 0.004x
U´(x)= 4.8/0.004 = x
U´(x)= 1200 Respuesta del inciso B)
C)El valor de la máxima utilidad.
Solo remplazaremos la x en la Funcion de utilidad por el numero de articulos para obtenerla.
U(x)= - 0.002x² + 4.8x - 500
U´(x)= - 0.002(1200)² + 4.8(1200) - 500
U´(x)= - 2880 + 5760 - 500
U´(x)= 5760 - 3380
U´(x)= 2380 Respuesta del inciso C)
La empresa debe producir y vender 1091 artículos para obtener la máxima utilidad de 2118 $.
¿Cómo se obtiene la utilidad o ganancia?
La utilidad o ganancia G se calcula por la diferencia entre el ingreso total I y el costo total C.
G = I - C
El ingreso total I se calcula por el producto del número de artículos a vender x y el precio unitario de venta p.
I = x · p
El costo total C está dado por la función:
C(x) = 0.0022x² + 1.2x + 500
Vamos a responder las interrogantes usando las ecuaciones anteriores:
a) Función utilidad de la empresa G(x)
G(x) = I(x) - C(x) = [(6)(x)] - (0.0022x² + 1.2x + 500) ⇒
G(x) = -0.0022x² + 4.8x - 500
b) El número de artículos para la máxima utilidad
La máxima utilidad se halla aplicando los criterios de primera y segunda derivada para valores extremos relativos
G'(x) = (-0.0022x² + 4.8x - 500)' = -0.0044x + 4.8
G'(x) = 0 ⇒ -0.0044x + 4.8 = 0 ⇒ x = 1091
x = 1091 es el valor critico o candidato a extremo relativo de la función
G''(x) = (-0.0044x + 4.8)' = -0.0044
Evaluamos la segunda derivada en el valor crítico x = 1091
G''(1091) = -0.0044 < 0
x = 1091 representa un máximo relativo de la función G(x)
La empresa debe producir y vender 1091 artículos para obtener la máxima utilidad.
c) La máxima utilidad.
Para conocer la máxima utilidad se evalúa la función utilidad en el valor máximo de x.
G(1091) = -0.0022(1091)² + 4.8(1091) - 500 = 2118 $
La máxima utilidad que puede obtener la empresa es de $2118.
Tarea relacionada:
Ganancias 40% del costo brainly.lat/tarea/9107198
#SPJ2
