Dos torres de 75 pies de alto, de un puente colgante con un cable parabolico, estan a 250 pies de distancia. el vertice de la parabola es tangente al asfalto en el punto medio entre las torreres. calcule la altura del cable, sobre el asfalto, en un punto a 50 pies de una de las torres.
Respuestas
La altura del cable, sobre el asfalto, en un punto a 50 pies de una de las torres es de 75 pies.
Explicación:
Podemos ubicar el origen de coordenadas precisamente en el vértice de la parábola, coincidiendo el eje de las x con el asfalto del puente y el eje de las y con el eje de la parábola.
Aplicaremos la ecuación canónica:
Parábola de eje vertical: (x - h)² = ±4p(y - k)
donde
(h, k) = (0, 0) son las coordenadas del vértice.
p es la distancia, sobre el eje, desde el vértice al foco y a la directriz.
Dado que las dos torres tienen 75 pies de alto y están a 250 pies de distancia, significa que la parábola pasa por los puntos: (-125, 75) y (125, 75)
Parábola de eje vertical con: h = 0 k = 0 pasa por x = 125 y = 75
Ecuación: [75 - (0)]² = 4p(125 - (0)) ⇒ p = 45/4
La distancia del vértice al foco es p = 45/4 pies medidos sobre el eje de la parábola. Entonces, la ecuación de la parábola será:
(x - 0)² = 4(45/4)(y - 0) ⇒ x² = 45y
Se desea calcular la altura del cable, sobre el asfalto, en un punto a 50 pies de una de las torres; es decir, el valor de y cuando
x = 125(distancia del vértice a la torre) - 50(distancia del punto incógnita a la torre) = 75 pies
(75)² = (45)y ⇒ y = 125 pies
La altura del cable, sobre el asfalto, en un punto a 50 pies de una de las torres es de 75 pies.