Question

La ley de hardy-weinberg- Usar multiplicadores de
LaGrange para hacer máximo el valor de

P(p, q, r) = 2pq +
2pr + 2qr sujeto a p + q + r = 1.

Answer 1

$L=2pq+2pr+2qr-\lambda(p+q+r-1)$

Hallemos las primeras derivadas

$\displaystyle \frac{\partial L}{\partial p}=2q+2r-\lambda\\ \\ \frac{\partial L}{\partial q}=2p+2r-\lambda\\ \\ \frac{\partial L}{\partial r}=2p+2q-\lambda$

Hallemos los puntos estacionarios

$\displaystyle 2q+2r-\lambda=0\\ \\ 2p+2r-\lambda=0\\ \\ 2p+2q-\lambda=0\\ \\ \text{sumemos:}\\ 4(p+q+r)-3\lambda =0\\ \\ \boxed{\lambda = \frac{4}{3}} \\ \\ \boxed{p=q=r=\frac{1}{3}}$

entonces el posible extremos es
                   $(p,q,r)=\left(\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3}\right)$

Ahora hallemos las segundas derivadas

$\displaystyle \frac{\partial^2 L}{\partial p^2}=0\\ \\ \frac{\partial^2 L}{\partial p\,\partial q}=2=\frac{\partial^2 L}{\partial q\,\partial p}\\ \\ \frac{\partial^2 L}{\partial q^2}=0$

$L_{rr}=0\\ \\ L_{pr}=L_{qr}=2$

Si  nos fijamos en $L_{pp}L_{qq}-L_{pq}^2=-4$ es negativa, por ello no hay extremos