Question

Determinar valores de a y b en una funcion
Tal que:
f(x)= axe^(bx^2) de forma que tenga un valor maximo en el punto (1,2)

$f(x)=ax^{bx^2}$

Answer 1

1) el punto $(1,2)\in \left\{(x,f(x))\right\}$ es decir:

                                                   $f(1)=2$

Por consiguiente

$f(1)=a(1)e^{b(1^2)}$

                                          $\boxed{ae^b=2}$.......(1)

2) como x = 1 es un punto de máximo, entonces $f'(1)=0$

$f(x)=axe^{bx^2}\\ \\ f'(x)=ae^{bx^2}+2abx^2e^{bx^2}\\ \\ f'(x)=\left(a+2abx^2\right)e^{bx^2} \\ \\ f'(1)=(a+2ab)e^b\\ \\ (a+2ab)e^b = 0\\ \\ \text{Puesto que }e^b\ \textgreater \ 0\,\; \forall b\in \mathbb R\text{ se tiene} \\ \\ a+2ab=0$

$a(1+2b)=0$

Por (1) se deduce que $a\neq 0$ entonces

                                            $\boxed{b=-\frac{1}{2}}$

reemplazando el valor de $b$ en (1) se obtiene:

                                          $\boxed{a=2\sqrt{e}}$