Question

hallar la derivada por definicion o por medio de limites de la funcion
f(x)= x^3senx

Answer 1

Explicación:

$\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{(x+h)^3\sin(x+h)-x^3\sin(x)}{h}=$

$=\lim_{h\to 0} x^3\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}-3x^2\sin(x+h)+3hx\sin(x+h)+h^2\sin(x+h)=$

$=x^3\cos(x)-3x^2\sin(x)$

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Primero desarrollamos el numerador :

$\dfrac{(x+h)^3\sin(x+h)-x^3\sin(x)}{h}=\\=\dfrac{x^3\sin \left(x+h\right)+3hx^2\sin \left(x+h\right)+3h^2x\sin \left(x+h\right)+h^3\sin \left(x+h\right)-x^3\sin(x)}{h}$

Y ahora separas en varias fracciones,  casi todos los términos estan multiplicadas por una "h" excepto el primer y ultimo termino que los vamos a dejar juntos, entonces tenemos que

$\frac{x^3\sin(x+h)-x^3\sin(x)}{h}-3x^2\sin(x+h)+3hx\sin(x+h)+h^2\sin(x+h)=$

Por ultimo tenemos que tomar el limite cuando "h" tiende a 0 de esta expresión. El tercer y cuarto término desaparecen porque estan multiplicadas por "h" y al tomar el limite en 0 se anulan. El segundo termino se queda como $3x^2\sin(x+0)=3x^2\sin(x)$

Y en el primero término sacamos el factor común que es $x^3$ y luego fijate que la expresión que nos queda es justo la definición de derivada usando límites de la función $f(x)=\sin(x)$ que como debes saber es $\cos(x)$.. En resumen$\lim_{h\to 0} x^3\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}-3x^2\sin(x+h)+3hx\sin(x+h)+h^2\sin(x+h)=$$=x^3\cos(x)-3x^2\sin(x)$