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Explicación:
Las funciones tienen mínimos o máximos cuando en algún punto de su dominio su derivada pasa de ser positiva o negativa a ser igual a cero. Un mínimo es cuando la derivada pasa de ser negativa a ser 0 y luego positiva (si es negativa [o positiva] y luego de ser igual a cero sigue siendo negativa [o positiva] es un punto de inflexión) y un máximo es cuando pasa de ser positiva a ser negativa. Por otra parte que sea absoluto implica que en toda la función no hay un valor de f(x) mayor a ese, por ejemplo las funciones cuadráticas tienen un valor máximo o mínimo absoluto que es el vértice de la parábola. Siendo así:
f(x)= x^3 - 3x^2 +1
f'(x) = 3x^2 -6x +0
Para buscar los 0 de la derivada:
f'(x) = 3x^2 -6x = 0
f'(x) = 3x*(x -2) = 0 ; x1=0 x2= 2
Verificamos si la derivada de x a ambos lados de esos puntos.
Antes de x=0
f'(-1) = 3*-1*(-1 -2) = 9
f'(1) = 3*1*(1-2) = -3
Por lo tanto será un punto máximo. No sería un máximo absoluto, salvo que se restrinja el dominio de la función por debajo de valores de x tales que f(x) sea mayor que f(0).
Antes de x = 2
f(1) = -3
f'(3) = 3*3*(3-2) = 9
Por lo tanto será un punto mínimo. Nuevamente no será absoluto a menos que se restrinja el dominio de la función entre los valores de x tales que f(x) sea menores de f(2).
Es decir, que para que x=0 y x=2 sean máximos y minimos absolutos el dominio de la función tiene que estar restringido a
x // f(0 )< f(x) > f(2) ; f(0) = 1 ; f(2) = -3