Durante los últimos días, en un terreno de la provincia de Zamora Chinchipe, la familia Sánchez ha aprovechado para cercar un solar de forma rectangular. La familia Sánchez dispone de 35/7 m de valla para cercar su solar. 1)Planifica la resolución valiéndose de un gráfico. 2) Ejecuta un plan de resolución en donde puedas relacionar perímetro y área. 3) Analiza y determina cuales son las dimensiones del solar para que el solar para que el área cercada sea la máxima posible. 4) Comprueba los resultados obtenidos. 5) En el computador y con la ayuda de internet utiliza cualquier graficador y obtén la gráfica de la función obtenida
Respuestas
El solar debe tener 1.25 m de base por 1.25 m de altura para cercar el área máxima posible, 1.5625 m².
Explicación paso a paso:
1) Planifica la resolución valiéndose de un gráfico.
En la gráfica anexa se puede observar el solar rectangular, de dimensiones x y, y las expresiones del Área (A) y el Perímetro (P).
2) Ejecuta un plan de resolución en donde puedas relacionar perímetro y área.
Con el perímetro conocido, se construye una función área de una sola variable y se aplican los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.
3) Analiza y determina cuales son las dimensiones del solar para que el solar para que el área cercada sea la máxima posible.
La función objetivo es el área (A) del solar rectangular. Si llamamos y la altura y x la base; la función objetivo viene dada por:
A = xy
Lo conveniente es que el área este expresada solo en función de una sola variable, por lo que usaremos el perímetro (P) conocido (ecuación auxiliar) para despejar y en función de x:
P = 2x + 2y = 35/7 = 5
de aquí
y = 5/2 - x
por tanto la función objetivo es
A = x(5/2 - x) = (5/2)x - x²
Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.
Primero, hallamos los puntos críticos de la función. Esto es derivar la función e igualar a cero. Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de A.
A' = 5/2 - 2x
A' = 0 ⇒ 5/2 - 2x = 0 ⇒ x = 5/4 = 1.25 m
Este es el punto crítico o posible extremo de la función.
Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.
A'' = -2
Tercero, evaluamos la segunda derivada en el punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.
A''₍₁.₂₅₎ = -2 < 0 ⇒ es un máximo de la función A.
Luego, y = 5/2 - (5/4) = 5/4 = 1.25 m
El solar debe tener 1.25 m de base por 1.25 m de altura para cercar el área máxima posible, 1.5625 m².
4) Comprueba los resultados obtenidos.
Sustituimos los valores obtenidos y valores cercanos para evaluar el comportamiento de A:
x y A
1.20 1.30 1.5600
1.22 1.28 1.5616
1.25 1.25 1.5625
1.27 1.23 1.5621
1.29 1.21 1.5609
Como se observa, el máximo del área se obtiene para los valores de x y dados en el resultado del paso 3).
Esto se complementa observando la gráfica en 5).
5) En el computador y con la ayuda de internet utiliza cualquier graficador y obtén la gráfica de la función obtenida
Se muestra la gráfica de la función A y se observa el mayor valor posible de esta función en el punto (1.25, 1.25).
