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Se llama ecuación diofántica a cualquier ecuación algebraica, generalmente de varias variables, planteada sobre el conjunto de los números enteros Z o los números naturales N, es decir, se trata de ecuaciones cuyas soluciones son números enteros.
Ejemplo de ecuación diofántica: X + Y = 5
Esta ecuación tiene infinitas soluciones en los números reales. Como regla general, sin embargo, las ecuaciones que aparecen en los problemas tienen restricciones que nos ayudan a limitarnos a un pequeño número de casos e incluso a una única solución.
Por ejemplo, en la ecuación, si restringimos los posibles valores de x e y a los enteros positivos, tenemos 4 soluciones para (x,y): (1,4) (2,3) (3,2) (4,1).
Un problema matemático muy famoso que se resuelve por medio de ecuaciones diofánticas es el del mono y los cocos.
Explicación paso a paso:
Forma ax + by = c
Para que ésta ecuación tenga solución c tiene que ser divisible por el máximo común divisor de a y b. En este caso la ecuación tiene un número finito de soluciones o ninguna.
Resolución: ax = c - by
Dando valores a y, desde y = 0 hasta y = a - 1, se encuentra un único valor que sea múltiplo de a.
Sea b el valor de y que hace c - by múltiplo de a. Entonces se conoce el valor de x que satisface la ecuación. Sea a ese valor.
Para obtener las demás soluciones hacemos x = a - bt e y = b +at y damos a valores a t = 0,1,2... siempre que se pueda hacer la sustracción.
Sea la ecuación 3x + 5y = 52
3x = 52 - 5y.
Para y = 0 queda 3x = 52
Para y = 1 queda 3x = 47
Para y = 2 queda 3x = 42
El único valor de y que hace x entero es y = 2. Entonces b = 2 y a = 14. x = 14 - 5t. Para t = 0, x = 14. Para t = 1, x = 9. Para t = 2, x = 4. y = 2 + 3t. Para t =0, y = 2. Para t = 1, y = 5. Para t = 2, x = 8
Espero haber ayudado.