Question

URGE, CÁLCULO INTEGRAL, RESPUESTA SERIA:

POR MÉTODO DE CAMBIO DE VARIABLE, CON PROCEDIMIENTO:::::::::

Hallar la función que pasa por el punto (13,-5) y cuya 1er derivada es √2x-1

Answer 1

La función que pasa por el punto (13,-5) y que tiene como derivada la función f'(x) = √(2x-1) viene siendo:

F(x) = (√(2x-1))³/3 - 140/3

Explicación:

Sabemos que nuestra función tiene la siguiente derivada:

f'(x) = √(2x - 1)

Entonces, para encontrar la primitiva, es decir F(x), lo que haremos será integrar:

∫f'(x) = ∫√(2x - 1)

F(x) = ∫√(2x - 1) dx

Ahora, para resolver esto lo que haremos será aplicar un cambio de variable, tal que:

• w² = 2x - 1 → w = √(2x-1)

Diferenciamos el cambio de variable, entonces:

• 2w dw = 2 dx
• w dw = dx

Sustituimos y tenemos que:

F(x) = ∫√(w²)·w dw

Simplificamos y aplicamos inmediata:

F(x) =  ∫(w)·w dw

F(x) =  ∫w² dw

F(x) = w³/3 + C

Devolvemos el cambio de variable, entonces:

F(x) = (√(2x-1))³/3 + C

Para encontrar la constante de integración ''C'' debemos usar el punto (13,-5):

-5 =  (√(2(13)-1))³/3 + C

-5 = (5)³/3 + C

-5 = 125/3 + C

C = -140/3

Finalmente la función solución viene siendo:

F(x) = (√(2x-1))³/3 - 140/3