Un muelle elástico de constante k=0,4 N/m está unido a una masa de m=25g. En el instante inicial su posición es x=5cm y su velocidad v=-20√3cm/s. Calcular:
a) Período de la oscilación.
b) Las ecuaciones de la posición, velocidad y aceleración de este MAS.
c) La energía cinética, potencial y total cuando el móvil pasa por la posición X=5cm.
d) El (los) instante (s) en el que el móvil pasa por el origen, x=0, y su velocidad.
Respuestas
La ecuación general de la posición de la masa es:
x = A cos(ω t + Ф)
A = amplitud; ω = √(k/m); Ф = fase inicial.
Son constantes que hay que determinar.
ω = √(0,4 N/m / 0,025 kg) = 4 rad/s
La velocidad en función de la posición es V = ω √(A² - x²)
Conocida la velocidad en x = 5 cm, podemos hallar A, la amplitud.
Omito las unidades. Uso las del SI
(0,2 √3)² = 4 (A² - 0,05²) = 0,12
A² = 0,12 / 4 + 0,05² = 0,0325
Por lo tanto A = 0,18 m = 18 cm
Ahora podemos hallar Ф
Para t = 0; 0,05 = 0,18 cosФ
cosФ = 0,05/0,18 = 0,277
Ф ≅ 1,3 rad (calculadora en modo radianes)
La ecuación es:
x = 0,18 cos(4 t + 1,3)
a) ω = 2 π / T; T = 2 π / 4
T = 1,57 s
b) x = 0,18 cos(4 t + 1,3)
La velocidad es la derivada de la posición
V = - 0,18 . 4 sen(4 t + 1,3)
V = - 0,72 sen(4 t + 1,3)
La aceleración es la derivada de la velocidad
a = - 0,72 . 4 cos(4 t + 1,3)
a = - 2,88 cos(4 t + 1,3)
c) Energía total. E = 1/2 k A²
Energía potencial: Ep = 1/2 k x²
Energía cinética: Ec = 1/2 m V²
E = 1/2 . 0,4. 0,18² ≅ 0,0065 J
Ep = 1/2 . 0,4 . 0,05² = 0,0005 J
Ec = 1/2 . 0,025 . (0,2 √3)² = 0,0015 J
Se verifica que: 0,005 + 0,0015 = 0,0065
d) En el origen, la velocidad es máxima: V = A ω
V = 0,18 . 4 = 0,72 m/s
Para x = 0, cos(4 t + 1,3) = 0
Implica 4 t + 1,3 = π/2 = 1,57
t = (1,57 + 1,3) / 4 = 0,0675 s
Otros instantes: 4 t + 1,3 = 3/2 π, 5/2 π, etc.
Los ceros se repiten cada medio período.
Adjunto gráfico de la posición en función del tiempo. Se muestra la posición inicial y dos de los ceros.
Saludos.
