Question

1. ¿PORQUE SE DICE QUE UNA PROGRESION ES UNA SUCESION?
2. ¿DE QUE TRATA EL PRIMER PROBLEMA O SITUACION PROBLEMÁTICA?
3. ¿DEL PROBLEMA O SITUACION PLANTEADA HOY QUE DIA DEL ENTRENAMIENTO YSABEL HABRA RECORIDO 23 KM.?
4. ¿CUÁNTOS KM. ¿HA RECORRIDO YSABEL EL ULTIMO DIA DE ENTRENAMIENTO?
5. ¿CUANTOS KM. EN TOTAL RECORIO AL FINAL DEL ENTRENAMIENTO?
6. ¿DONDE ORGANIZAMOS LOS DATOS?
7. ¿COMO SE LLAMA AL VALOR CONSTANTE?
8. ¿DE QUE TRATA EL SEGUNDO PROBLEMA O SITUACION PROBLEMÁTICA?RESUELVELO
9. ¿QUE FORMAS HAY PARA HALLAR UN TERMINO DE LA PROGRESION ARITMETICA?
10. ¿TODAS LAS PROGRESIONES ARITMETICAS SON CRECIENTES?
11. ¿CUANDO UNA PROGRESIONES ARITMETICAS ES CRECIENTE?
12. ¿CUANDO UNA PROGRESIONES ARITMETICAS ES DECRECIENTE?
13. ¿EXISTE PROGRESIONES ARITMETICAS CON DECIMALES?
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Answer 1

Producto

El producto de los términos de una progresión aritmética finita cuyo término inicial es a1, diferencia d, y n elementos en total está determinado por la expresión en forma cerrada  

Respuesta:

En matemáticas, una progresión aritmética es una sucesión de números tales que la diferencia de cualquier par de términos sucesivos de la secuencia es constante, dicha cantidad llamada «diferencia de la progresión», «diferencia» o incluso «distancia».

..Por ejemplo, la sucesión matemática 3, 5, 7, 9,… es una progresión aritmética de diferencia constante 2, así como 5, 2, −1, −4,… es una progresión aritmética de diferencia constante −3.

Explicación paso a paso:Formulación

En una progresión aritmética, si se toman dos términos consecutivos de cualquiera de esta, la diferencia entre ambos es una constante, denominada diferencia. Esto se puede expresar como una relación de recurrencia de la siguiente manera:

Conociendo el primer término a1 y la diferencia d, se puede calcular el enésimo término de la progresión mediante sustitución sucesiva en la relación de recurrencia

con lo que se obtiene una fórmula para el término general de una progresión aritmética, escrita de manera compacta como:

donde d es un número real cualquiera.

También se puede escribir el término general de otra forma. Para ello se consideran los términos am y an (m<n) de la progresión anterior y se ponen en función de a1:

Restando ambas igualdades, y trasponiendo, se obtiene:

(II){\displaystyle a_{n}=a_{m}+(n-m)d\,}{\displaystyle a_{n}=a_{m}+(n-m)d\,}

expresión más general que (I), pues da los términos de la progresión conociendo uno cualquiera de ellos, y la diferencia.

Dependiendo de si la diferencia d en una progresión aritmética es positiva, nula o negativa, se tiene que:

d>0: progresión creciente. Cada término es mayor que el anterior.

Ejemplo: 3, 6, 9, 12, 15, 18... (d=3)

d=0: progresión constante. Todos los términos son iguales.

Ejemplo: 2, 2, 2, 2, 2... (d=0)

d<0: progresión decreciente. Cada término es menor que el anterior.

Ejemplo: 5, 3, 1, -1, -3, -5, -7... (d=-2)

Definición recursiva

Una progresión aritmética que es una sucesión en que la diferencia de dos términos consecutivos es constante se define por las dos condiciones siguientes:

Suma

La suma de los términos en un segmento inicial de una progresión aritmética se conoce a veces como serie aritmética. Existe una fórmula para las series aritméticas. La suma de los n primeros valores de una sucesión finita viene dada por la fórmula:

Obtención de la fórmula

Sea una progresión aritmética de término general {\displaystyle a_{n}\,}{\displaystyle a_{n}\,} y de diferencia d, la suma de los n términos es: um _{i=1

Sumando miembro a miembro las dos igualdades anteriores, se anulan todos los términos que están multiplicados por d:

de lo que se obtiene que

{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}=n{\frac {(a_{1}+a_{n})}{2}}\,}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}=n{\frac {(a_{1}+a_{n})}{2}}\,}.

Términos

Los siete primeros términos de la progresión aritmética de término general an = 5n. Se comprueba que la suma de los términos primero y último es igual a la suma de dos términos equidistantes a éstos, e igual al doble del término central.

En cualquier progresión aritmética de diferencia d la suma del primer y último término es igual a la del segundo y el penúltimo, a la del tercero y el antepenúltimo, y así sucesivamente. Es decir, la suma de dos términos equidistantes de los extremos es constante, siempre que (n-k)≥1.

Si la progresión cuenta con un número impar de términos, el término central ac es aquel que por el lugar que ocupa en la progresión equidista de los extremos a1 y an de ésta.

Representado de esta manera, es muy sencillo deducir la fórmula de la suma de los n términos de la progresión, anteriormente descrita. Para el caso en el que el número de términos es par, hay n/2 sumas contantes, con valor (a1 + an). Para el caso impar, hay (n-1)/2 sumas con valor (a1 + an) más el término central, que está ubicado en la posición

Sustituyendo c en la fórmula (I) y operando un poco, el término también queda representado en función de (a1 + an), como

por lo que en total, hay n/2 sumas con valor (a1 + an) como en el caso par y la fórmula queda validada para todo n.

Ejemplos notables

Hallar la suma de los n primeros enteros positivos, corresponde a calcular la serie aritmética de los n términos de la progresión aritmética de diferencia d=1 y término inicial a1=1: