Question

Un vendedor de automóviles recibe semanalmente un salario base de 500 dólares y una cantidad X en cientos de dólares, que corresponda a una variable aleatoria discreta con la función de probabilidad definida por:


P(X=x)=(kx+1)/3 para X=0,1,2,3,4,5.


Determina el valor de k para que P(X=x) sea función de probabilidad.


Halle la función de distribución acumulada de X.


Determine el salario esperado para el vendedor e interprete ese valor.

Answer 1

La función de distribución (acumulada) de una variable aleatoria es la probabilidad de que X tome un valor menor o igual que x.

f(x) Si x es 0≤x≤2

Y  k debe ser igual a 1

Explicación paso a paso:

Datos:

Salario Base = 500 dolares

x: bonificacion variable

Una variable aleatoria discreta con la función de probabilidad definida por:

P(X=x)=(kx+1)/3

El valor de k para que P(X=x) sea función de probabilidad.

Función de probabilidad es una función que asocia a cada punto de su espacio muestral X la probabilidad de que esta lo asuma, por lo tanto k debe ser igual a 1

La función de distribución (acumulada) de una variable aleatoria es la probabilidad de que X tome un valor menor o igual que x.

f(x) Si x es 0≤x≤2

Answer 2

Solucionando el planteamiento tenemos:

a) El valor de k es -1/5

b) La función de distribución acumulada de X es:

X           0        1       2      3       4       5    

P(X=x) 1/3    4/15   1/5  2/15   1/15    0

c) El salario esperado para el vendedor es 633,33$.

◘Desarrollo:

Para que P(X=x) sea función de probabilidad debe cumplirse las siguientes propiedades:

1) 0≤P(X=x)≤1   ∀ X∈ [0,1]

2) ∑P(X=x) = 1

Por tanto para la función de probabilidad definida por P(X=x)=(kx+1)/3 para X=0,1,2,3,4,5, tenemos:

∑P(X=x) = 1

$\frac{\left(0\cdot \:k+1\right)}{3}+\frac{\left(1\cdot \:k+1\right)}{3}+\frac{\left(2k+1\right)}{3}+\frac{\left(3k+1\right)}{3}+\frac{\left(4k+1\right)}{3}+\frac{\left(5k+1\right)}{3}=1$

Multiplicamos * 3:

$\frac{1}{3}\cdot \:3+\frac{k+1}{3}\cdot \:3+\frac{2k+1}{3}\cdot \:3+\frac{3k+1}{3}\cdot \:3+\frac{4k+1}{3}\cdot \:3+\frac{5k+1}{3}\cdot \:3=1\cdot \:3$

$1+k+1+2k+1+3k+1+4k+1+5k+1=3$

$15k+6=3$

Restamos 6 a ambos lados:

15k+6-6=3-6

15k=-3

Dividimos entre 15 y simplificamos:

$\frac{15k}{15}=\frac{-3}{15}$

$k=-\frac{1}{5}$

La función de distribución acumulada de X es:

P(X=x)=(kx+1)/3

P(X=0)=(-1/5*0+1)/3

P(X=0)=1/3

P(X=1)=(-1/5*1+1)/3

P(X=1)=4/15

P(X=2)=(-1/5*2+1)/3

P(X=2)=1/5

P(X=3)=(-1/5*3+1)/3

P(X=3)=2/15

P(X=4)=(-1/5*4+1)/3

P(X=4)=1/15

P(X=5)=(-1/5*5+1)/3

P(X=5)=0

X           0        1       2      3       4       5    

P(X=x) 1/3    4/15   1/5  2/15   1/15    0

Salario esperado del vendedor: 500+ E(X)

Esperanza matemática:

E(X) = ∑Xi*P(X=Xi)

E(X) = (0*1/3)+(1*4/15)+(2*1/5)+(3*2/15)+(4*1/15)+(5*0)

E(X)= 0+4/15+2/5+2/5+4/15+0

E(X)= 4/3

500+ 4/3*100 = 633,33$