Question

Ayuda con este ejercicio

En el laboratorio de física se sujeta verticalmente en el techo un resorte de constante k y se coloca un objeto de masa m en si extremo inferior. Una vez que el resorte está en equilibrio se estira hacia abajo hasta lograr una deformación A y se suelta. Determine en función de A la posición en la que el objeto tendrá la mitad de su rapidez máxima desprecie las fuerzas de rozamiento del aire
Opciones

Answer 1

La posición donde el objeto tiene la mitad de su velocidad máxima respecto de la posición de equilibrio es $x=\frac{\sqrt{3}}{2}A$

Explicación:

En el punto de equilibrio, la fuerza elástica compensa al peso del objeto.

Si lo estiro hasta tener una deformación A, la ecuación de movimiento según la segunda ley de Newton queda:

$k.x-mg=ma\\\\kx-mg=m\frac{d^2x}{dt^2}\\\\kx-m\frac{d^2x}{dt^2}=mg\\\\x=B.cos(wt)+C=>kB.cos(wt)+kC-mw^2B.cos(wt)=mg$

Si B es la amplitud de movimiento, es B=A-x0, donde x0 es la posición de equilibrio, la posición de equilibrio queda:

$kx_0=mg\\x_0=\frac{mg}{k}$

Y en t=0, o sea en x=B queda:

$kBcos(wt)+kx_0-mw^2Bcos(wt)=mg\\\\kx_0=mg=>kBcos(wt)-mw^2Bcos(wt)\\\\t=0=>kB-mw^2=0=>w=\sqrt{\frac{k}{m}}$

Para la velocidad tenemos:

$v=wB.sen(wt)\\\\v=\frac{wB}{2}=>sen(wt)=\frac{1}{2}=>wt=\frac{\pi}{6}$

Y la posición donde tengo la mitad de la velocidad queda:

$x=x_0+B.cos(\frac{\pi}{6})=x_0+\frac{\sqrt{3}}{2}.B=x_0+\frac{\sqrt{3}}{2}.(A-x_0)$

Si tomamos el punto de referencia en la posición de equilibrio, con lo que A sería la excursión respecto de ese punto nos queda:

$x=\frac{\sqrt{3}}{2}$A