Question

Cómo puedo integrar esto? No entiendo

Answer 1

Respuesta:

$b) = {x^3} + {x^2} + 5x + k_4$

$d)=3x^5 + 4x^4 - 5x^3 - 4x^2 + 3x + k_6$

Explicación paso a paso:

Para poder realizar estas integrales, vamos a tener encuenta un par de propiedades que son las siguientes:

1) Tenemos una funcion

$\int{x} \, dx$

Para poder realizar la integral de x, tenemos que tener en cuenta que x esta elevada a la 1, y para saber su integral hacemos lo siguiente:

$\int {x} \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$

Ejemplo:

$\int {x} \, dx$  = $\frac{x^{1+1}}{1+1}$ =$\frac{x^2}{2} + k$

Ejemplo 2:

$\int {x^2} \, dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^3}{3} +k$

2) Tenemos una constante multiplicando una función

$\int{kx} \, dx$     =    $k\int{x} \, dx$

Ejemplo:

$\int{5x} \, dx$     = $5\int {x} \, dx$

3) Tenemos dos o mas funciones sumandose o restandose:

$\int {f(x) + g(x) - e(x)} \, dx = \int {f(x)} \, dx + \int {g(x)} \, dx - \int {e(x)} \, dx$

Ejemplo:

$\int {x^2 + 12x^5 - 8x} \, dx = \int {x^2} \, dx + \int {12x^5} \, dx - \int {8x} \, dx$

--------------------------------------------x----------------------------------------------

Okey!

Ahora, sabiendo esto, podemos resolver las siguientes integrales

Voy a explicar 2 integrales y las otras 2 las puede hacer usted, le parece? Si tiene problemas, me puede hablar.

Ejercicio b)

Tenemos la siguiente integral:

$\int {3x^2 + 2x + 5} \, dx$

Ahora vamos a recordar la propiedad numero 3, entonces:

$\int {3x^2} \, dx + \int {2x} \, dx + \int {5} \, dx$

Teniendo esto, vamos a utilizar las propiedades numero 2 y al final 1:

Primero utilizamos la numero 2:

$3\int {x^2} \, dx + 2\int {x} \, dx + \int {5} \, dx$

Y ahora pasamos a la 1:

$3\frac{x^3}{3} }+k_1 + 2\frac{x^2}{2} + k_2 + 5x + k_3$

(Simplificando los terminos que podemos simplificar):

${x^3} +k_1 + {x^2} + k_2 + 5x + k_3$

Y lo que voy a hacer al final voy a dejar una sola K, especificando que es la suma de todas:

$k_4=k_1+k_2+k_3$

Listo! Nuestra integral final es:

${x^3} + {x^2} + 5x + k_4$

---------------------------------------------------------x-----------------------------------------

Ejercicio d)

Tenemos la siguiente integral:

$\int {15x^4 + 16x^3 - 9x^2-6x^2 -8x -3} \, dx$

Sumo los x² asi me queda todo ordenado:

$\int {15x^4 + 16x^3 - 15x^2 -8x -3} \, dx$

Ahora vamos a recordar la propiedad numero 3, entonces:

$\int {15x^4} \, dx + \int {16x^3} \, dx - \int {15x^2} \, dx - \int {8x} \, dx - \int {3} \, dx$

Teniendo esto, vamos a utilizar las propiedades numero 2 y al final 1:

Primero utilizamos la numero 2:

$15\int {x^4} \, dx + 16\int {x^3} \, dx - 15\int {x^2} \, dx - 8\int {x} \, dx - \int {3} \, dx$

Y ahora pasamos a la 1:

$15\frac{x^5}{5} }+k_1 + 16\frac{x^4}{4} + k_2 - 15\frac{x^3}{3} + k_3 - 8\frac{x^2}{2} + k_4 + 3x + k_5$

(Simplificando los terminos que podemos simplificar):

$3x^5+k_1 + 4x^4 + k_2 - 5x^3 + k_3 - 4x^2 + k_4 + 3x + k_5$

Y lo que voy a hacer al final voy a dejar una sola K, especificando que es la suma de todas:

$k_6=k_1+k_2+k_3+k_4+k_5$

Listo! Nuestra integral final es:

$3x^5 + 4x^4 - 5x^3 - 4x^2 + 3x + k_6$

--------------------------------------------------x------------------------------------------------

Tal vez se puede llegar a preguntar "Okey ¿Pero que significan las $k_s$?"

Siempre que, hablamos de integrar una función, podemos pensar que la integral es la anti-derivada, me refiero a que puedo pensar "Okey ¿Qué función derivada me da la que tengo?", me explico:

Supongamos que me dan la funcion:

$f(x)=x$

Y me preguntan cual es su integral:

$\int {x} \, dx =?$

Entonces yo puedo pensar "¿Qué funcion derivada me da $x$?

Entonces, por propiedad de integrales, me dice que la integral de x es:

$\frac{x^2}{2} + k$

Y como puedo comprobar que esto es cierto? Bueno, simplemente derivo la funcion que me dio:

$(\frac{x^2}{2}+k)'$

Derivo el primer termino:

$2\frac{x}{2}$

Y derivo el segundo termino (Tengo que tener en cuenta que es una constante, por ende):

$(k)' = 0$

Entonces mi función derivada es la misma que tenia al principio!

Las $k_s$ son solamente constantes que cuando las derivamos nos dan 0