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Respuesta:Continuamos con el ejemplo anterior. Una bola es lanzada desde el suelo verticalmente y hacia arriba. La función altura-tiempo es y=f(t)=50t - 5t2
Recordemos que podíamos calcular la altura en cualquier instante pero no podíamos tener información precisa de como está variando la altura en un instante determinado, por ejemplo, en t0=2 segundos. Este dato se denomina variación instantánea.
Para obtener esta información vamos a estudiar cómo varía la altura en intervalos que empiezan en t0=2 y tiene amplitudes h cada vez más pequeños. Es decir calculemos las tasas de variación media en los intervalos sucesivos [t0,t0+h] tal que h tienda a 0.
Consideremos el intervalo [2,5] con una anchura h=3 segundos
Pasemos al intervalo [2,4] con una anchura h=2
Siguiendo esta sucesión podemos considerar una anchura arbitrariamente pequeña, p.e. h=0.05 segundos ¡ 5 centésimas de segundo !. Con lo que la tasa TVM en este intervalo medirá casi la variación instantánea en t0=2 segundos.
La sucesión de las TVM tiene como límite la variación instantánea en t0=2 segundos cuyo valor es
f ' (2) = 30 m/s
Para conocer la variación instantánea en t0=2 segundos tenemos que calcular la variación media (TVM) correspondiente a un intervalo [2,2+h], tendiendo h a cero.
Has podido observar en la gráfica que las distintas tasas de variación media son las pendientes de la recta secante a la curva por los puntos P(2,f(2)), Q(2+h,f(2+h)) y que cuando h tiende a cero el punto Q se desplaza sobre la gráfica hasta confundirse con el punto P a la vez que las sucesivas rectas secantes por P y Q tienden hacia la recta tangente a la gráfica en el punto P.
Geométricamente, la TVM es la pendiente de la secante por P y Q y por tanto la variación instantánea en P será como caso límite la pendiente de la recta tangente en P.
La variación instantánea en t=2 se representa por f ' (2) y se conoce como la derivada de la función f(t) en t=2
La expresión analítica de la derivada en el punto t=2
Viene dada por el valor del siguiente límite:
2.DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
Dada una función y=f(x) y un punto de abcisa x=a, se define la derivada de f(x) en x=a y se designa f '(a), como el límite siguiente, si es que existe,
Si expresamos el valor variable a+h = x, tenemos que h= x-a de tal manera que cuando h®0 se cumplirá que x®a.
La derivada en x=a también puede ser expresada de la siguiente manera
y representa desde le punto de vista geométrico la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función y = f(x) en el punto de abcisa x=a
Explicación paso a paso: