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Respuesta:
La fórmula del hipotrocoide! (geometría)
Explicación paso a paso:
Siendo {\displaystyle q={\dfrac {a}{b}}}{\displaystyle q={\dfrac {a}{b}}} (donde {\displaystyle q>1}q > 1) y {\displaystyle d=kb}{\displaystyle d=kb}, con circunferencia directriz de radio a, y circunferencia generatriz de radio a, y la distancia al centro de la generatriz d, la ecuación de la hipotrocoide es:
{\displaystyle z=a=x}{\displaystyle z=a=x} pero x no es igual a A
donde:
{\displaystyle qz=a[(q-1)e^{it}+ke^{-i(q-1)t}]\,}{\displaystyle qz=a[(q-1)e^{it}+ke^{-i(q-1)t}]\,}
{\displaystyle q(x+iy)=a(q-1)\cos(t)+ia(q-1)\sin(t)+ak\cos[(q-1)t]-iak\sin[(q-1)t]}{\displaystyle q(x+iy)=a(q-1)\cos(t)+ia(q-1)\sin(t)+ak\cos[(q-1)t]-iak\sin[(q-1)t]}
Por identificación de las partes reales e imaginarias se obtiene:
{\displaystyle qx=a(q-1)\cos(t)+ka\cos[(q-1)t)];\,}{\displaystyle qx=a(q-1)\cos(t)+ka\cos[(q-1)t)];\,}
{\displaystyle qy=a(q-1)\sin(t)-ka\sin[(q-1)t)];\,}{\displaystyle qy=a(q-1)\sin(t)-ka\sin[(q-1)t)];\,}
donde:
{\displaystyle q={\dfrac {a}{b}}}{\displaystyle q={\dfrac {a}{b}}} y {\displaystyle k={\dfrac {d}{b}}\,}{\displaystyle k={\dfrac {d}{b}}\,}.
Sabiendo que {\displaystyle a=R}{\displaystyle a=R}, {\displaystyle b=r}{\displaystyle b=r} y {\displaystyle t=\theta }{\displaystyle t=\theta }, obtenemos las ecuaciones siguientes:
{\displaystyle x=(R-r)\cos \theta +d\cos \left({R-r \over r}\theta \right)}{\displaystyle x=(R-r)\cos \theta +d\cos \left({R-r \over r}\theta \right)}
{\displaystyle y=(R-r)\sin \theta -d\sin \left({R-r \over r}\theta \right)}{\displaystyle y=(R-r)\sin \theta -d\sin \left({R-r \over r}\theta \right)}
el ángulo {\displaystyle \theta }\theta varía de 0 a 2π.
Las elipses son casos particulares de hipotrocoide, donde {\displaystyle R=2r}{\displaystyle R=2r}.
Las hipocicloides son casos particulares, donde {\displaystyle d=r}{\displaystyle d=r} (el punto fijo de la generatriz)
