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Respuesta:
República se refiere a un sistema de gobierno donde no existe un rey (res publica: cosa publica). Democracia en un sistema de gobierno en el que el poder emana del pueblo (demos: pueblo, cratos: poder). ... Cuando en la democracia no hay rey, sino que se elige a un presidente del gobierno, es una democracia republicana
Explicación:
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1.- La República es una forma de gobierno. Estaríamos hablando del modo de organizar la jefatura del Estado. Normalmente se contrapone a la monarquia. En la primera se trataría de un cargo político y elegible y en la segunda se trataría de un cargo hereditario. No es mejor una u otra, son diferentes. En ambos casos hay distintos modos de organización. Las repúblicas suelen ser presidencialistas o parlamentarias. En las primeras es el pueblo quien elige al presidente o jefe del estado y en las segundas es el parlamento quien lo elige. En unas y en otras los poderes del presidente son distintos. Ejemplos de las primeras las tenemos en los EE. UU o en algunas repúblicas de Sudamérica y de las segundas las encontramos en Europa en países como Alemania o Italia.
El caso de Francia es un poco particular porque se trata de una República presidencialista respecto al sistema de elección del presidente pero, formalmente, se trata de una República parlamentaria puesto que el Gobierno necesita de la confianza del Parlamento.
2.- La Democracia se trata de un modo de elección de los gobernantes de un determinado Estado. Tenemos dos modos de ejercicio democrático: directo o por representación.
El ejercicio democrático directo es un modo de gobierno en el que las decisiones a tomar por el gobierno se someten a consulta al sujeto que ejerce democráticamente la soberanía, el pueblo. Ejemplo de este modo lo encontramos en la Confederación Helvética (Suiza).
El ejercicio democrático por representación es un modo de gobierno en el que lo que elige el sujeto soberano son los representantes. Serán éstos quienes, en ejercicio de la representación que ostentan, tomarán las decisiones de gobierno en los parlamentos. Ejemplos de ello son miles, empezando por España.
Para poder ahondar mas en los conceptos y en su significado se puede empezar por la lectura de autores clásicos como Platón o Aristóteles, siguiendo por Niestzsche o Hobbes, para terminar con cualquier Tratado o estudio sobre derecho constitucional de los que se estudian en las Universidades.