Question

1. Indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda:
( ) El MCD de 20 y 35 es 5.
( ) El mcm de 24 y 18 es 120.
( ) El MCD de 5 y 13 es 55.

2. Hallar el MCD de los siguientes conjuntos de nú-
meros, aplicando "descomposición canónica".
• 36; 120 y 80 • 72; 160 y 540
• 100; 240 y 220 • 180; 160 y 250
• 170; 340 y 230
expliquen bien
ayuden plizzzzzzzzzzzz

Answer 1

Lo primero que debemos recordar es que la descomposición canónica de un número consiste en descomponerlo como la multiplicación de los factores primos que lo dividan perfectamente hasta que el resultado sea 1 (empezando por los menores), teniendo en consideración que los números primos son aquellos que son únicamente divisibles entre 1 y entre sí mismos, es decir, los números 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17......

Siendo así, el Máximo Común Divisor (MCD) de dos números es aquel número entero que los divide exactamente a ambos sin dejar resto. Se calcula multiplicando los factores comunes entre los números, con su menor exponente.

Por su parte, el Mínimo común múltiplo (mcm) de dos números es el número entero más pequeño que es múltiplo de ambos. Se calcula multiplicando los factores no comunes entre los números, y los comunes con el máximo exponente.

Ahora que recordamos esto, podemos resolver los ejercicios: 

     1) Indicar Verdadero (V) o Falso (F):

  ∴ El MCD de 20 y 35 es 5: Verdadero

Para saber si el enunciado es correcto, descompondremos los números en factores primos y calcularemos su MCD según los párrafos anteriores...

20 ÷ 2 = 10 ÷ 2 = 5 ÷ 5 = 1  por tanto... 20 = 2 × 2 × 5 = 2² × 5
35 ÷ 5 = 7 ÷ 7 = 1   por tanto... 35 = 7 x 5
  MCD = 5

  ∴ El mcm de 24 y 18 es 120: Falso 

En este caso seguiremos el mismo procedimiento... 

24 ÷ 2 = 12 ÷ 2 = 6 ÷ 2 = 3 ÷ 3 = 1   por tanto... 24 = 2³ × 3
18 ÷ 2 = 9 ÷ 3 = 3 ÷ 3 = 1  por tanto... 18 = 2 × 3²
  Mcm = 2³ × 3² = 72

  ∴ El MCD de 5 y 13 es 55: Falso

5 = 5 
13 = 13     Como no hay factores comunes entre ellos, no tienen un MCD común


     2) Hallar MCD aplicando la descomposición canónica:

  ∴ MCD ₍₃₆, ₁₂₀, ₈₀₎ = 2² = 4

36 ÷ 2 = 18 ÷ 2 = 9 ÷ 3 = 3 ÷ 3 = 1   por tanto... 36 = 2² × 3² 
120 ÷ 2 = 60 ÷ 2 = 30 ÷ 2 = 15 ÷ 3 = 5 ÷ 5 = 1  por tanto... 120 = 2³ × 3 × 5 
80 ÷ 2 = 40 ÷ 2 = 20 ÷ 2 = 10 ÷ 2 = 5 ÷ 5 = 1  por tanto... 80 = 2⁴ × 5

  ∴ MCD ₍₇₂, ₁₆₀, ₅₄₀₎ = 2² = 4

72 ÷ 2 = 36 ÷ 2 = 18 ÷ 2 = 9 ÷ 3 = 3 ÷ 3 = 1  por tanto... 72 = 2³ × 3² 
160 ÷ 2 = 80 ÷ 2 = 40 ÷ 2 = 20 ÷ 2 = 10 ÷ 2  = 5 ÷ 5 = 1 por tanto... 160 = 2⁵ × 5
540 ÷ 2 = 270 ÷ 2 = 135 ÷ 3 = 45 ÷ 3 = 15 ÷ 3 = 5 ÷ 5 = 1  por tanto... 540 = 2² × 3³ × 5

  ∴ MCD ₍₁₀₀, ₂₄₀, ₂₂₀₎ = 2² × 5 = 20

100 ÷ 2 = 50 ÷ 2 = 25 ÷ 5 = 5 ÷ 5 = 1          100 = 2² × 5²
240 ÷ 2 = 120 ÷ 2 = 60 ÷ 2 = 30 ÷ 2 = 15 ÷ 3 = 5 ÷ 5 = 1           240 = 2⁴ × 3 × 5
220 ÷ 2 = 110 ÷ 2 = 55 ÷ 5 = 11 ÷ 11 = 1          220 = 2² × 5 × 11

  ∴ MCD ₍₁₈₀, ₁₆₀, ₂₅₀₎ = 2 × 5 = 10

180 ÷ 2 = 90 ÷ 2 = 45 ÷ 3 = 15 ÷ 3 = 5 ÷ 5 = 1          180 = 2² × 3² × 5
160 ÷ 2 = 80 ÷ 2 = 40 ÷ 2 = 20 ÷ 2 = 10 ÷ 2 = 5 ÷ 5 = 1          160 = 2⁵ × 5
250 ÷ 2 = 125 ÷ 5 = 25 ÷ 5 = 5 ÷ 5 = 1          250 = 2 × 5³

  ∴ MCD ₍₁₇₀, ₃₄₀, ₂₃₀₎ = 2 × 5 = 10

170 ÷ 2 = 85 ÷ 5 = 17 ÷ 17 = 1         170 = 2 × 5 × 17
340 ÷ 2 = 170 ÷ 2 = 85 ÷ 5 = 17 ÷ 17 = 1          340 = 2² × 5 × 17
230 ÷ 2 = 115 ÷ 5 = 23 ÷ 23 = 1         230 = 2 × 5 × 23


Y listo! Espero que sea de ayuda!