Question

Me pueden ayudar con esta integral porfa

Answer 1

hola.

veamos

$\[\int\cfrac{1}{(x+3).ln(x+3)}$

primero al ver estos tipos de preguntas debes de hacer un cambio de variable a ln(x+3)

bueno entonces

sea v = ln(x+3)

¿porque?

por debemos utilizar la siguiente formula

$\[\int\cfrac{dv}{v} =lnv$

ahora de ;

v= ln(x+3)

derivemos , porque queremos el diferencial

$d(v)=\cfrac{d}{dx} ln(x+3).d(x)\\ \\ d(v)=\cfrac{(x+3)'}{(x+3)}.d(x) \\ \\ d(v)=\cfrac{1}{x+3}.d(x)$

obs :

derivada de

x' = 1

(x+3)' = x'+3'

(x+3)'=  x'+0

(x+3)' = x'

(x+3)' = 1

luego :

$\[\int\cfrac{1}{(x+3).ln(x+3)}=\[\int\cfrac{dv}{v} =lnv$

¿porque?

solo despejamos

(x+3)= dx /d(v)

se van los (dx) del numerador y denominador

quedando la expresión conseguida .

por ultimo

$\[\int\cfrac{1}{(x+3).ln(x+3)}= ln(v) +C\\ \\ \[\int\cfrac{1}{(x+3).ln(x+3)}=ln(ln(x+3))+C$

Saludos