Question

Me podrían ayudar con la siguiente operación (es de límites) por favor

Lim x→-3/2

2x²-x-6/√3-4x - √6-2x

Les ahorro un poco de trabajo diciéndoles que al sustituir da 0/0 pero el maestro dice que hay que hacer trabajo algebraico

Answer 1

primero se debe factorizar el numerador y luego multiplicar y dividir por el conjugado del divisor

1) factorizacion del numerador

2x² - x - 6 = 2x² - 4x + 3x - 6 = (2x² - 4x) + (3x - 6) = 2x.(x - 2) + 3.(x - 2)

                = (x - 2).(2x + 3)  = 2.(x - 2).(x + 3/2)

por lo tanto

2x² - x - 6 = 2.(x - 2).(x + 3/2)

2) multiplicar y dividir por el conjugado del divisor

(1/(√3 - 4x  -  √6 - 2x)).((√3 - 4x  +  √6 - 2x)/(√3 - 4x  +  √6 - 2x))

= (√3 - 4x  +  √6 - 2x)/(√3 - 4x  -  √6 - 2x).(√3 - 4x +  √6 - 2x)

= (√3 - 4x  +  √6 - 2x)/((√3 - 4x)²  -  (√6 - 2x)²)

= (√3 - 4x  +  √6 - 2x)/(3 - 4x - (6 - 2x))

= (√3 - 4x  +  √6 - 2x)/(3 - 4x - 6 + 2x)

= (√3 - 4x  +  √6 - 2x)/(-3 - 2x)

se extrae el factor -2 del divisor para formar una de las raíces del numerador, entonces

1/(√3 - 4x  -  √6 - 2x) =  (√3 - 4x  +  √6 - 2x)/(-2).(x + 3/2)

1/(√3 - 4x  -  √6 - 2x) = (-1/2).((√3 - 4x  +  √6 - 2x)/(x + 3/2))

por lo tanto

lim(x → -3/2)  ((2x²-x-6)/(√3-4x - √6-2x))  se reduce a lo siguiente

lim(x → -3/2)  ( 2.(x - 2).(x + 3/2).((-1/2).((√3 - 4x  +  √6 - 2x)/(x + 3/2))))

lim(x → -3/2) ( 2.(-1/2).(x - 2).(x + 3/2).(√3 - 4x  +  √6 - 2x)/(x + 3/2) )

se observa que el binomio (x + 3/2) el cual es el causante de la indeterminación 0/0 se simplifica, por lo tanto se tiene

lim(x → -3/2) ( (-1).(x - 2).(√3 - 4x  +  √6 - 2x) )

ahora, si se toma limite, quedara definido el valor del limite

lim(x → -3/2) ( (-1).(x - 2).(√3 - 4x  +  √6 - 2x) ) =

= (-1).(-3/2 - 2).(√3 - 4.(-3/2)  +  √6 - 2.(-3/2))

= (7/2).(3 + 3)

= 21

conclusión

lim(x → -3/2)  ((2x²-x-6)/(√3-4x - √6-2x)) = 21

observación: la función es discontinua en x = - 3/2