Question

qlguien me puede ayudar porfavor. como resuelvo este ejercicio

Answer 1

$2x^4-5x^3+10x^2+15x+18=0$

$Div(18)=\{\pm1,\pm 2,\pm 3,\pm 6, \pm 9,\pm 18\}\\ Div(2)=\{\pm 1,\pm 2\}$

Posibles raíces racionales

$S=\{\pm 1/2, \pm 1,\pm 2,\pm 3/2, \pm 3,\pm 9/2, \pm 6 \pm 18\}$

y si pruebas con cada uno no hay soluciones racionales

Entonces no hay de otra que hacerla de otra manera.
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Apliquemos la sustitución de Tschirnhausen

Antes debemos dejar 1 en el coeficiente de $x^4$, es decir, dividiremos entre 2 a la ecuación dada

                       $x^4-\frac{5}2x^3+5x^2+\frac{15}2x+9=0$

ahora sí cambiamos de variable

                                           $x=z+\frac{5}8$

y tenemos la siguiente ecuación

    $z^4 + \frac{85}{32} z^2 + \frac{755}{64}z + \frac{62189}{4096} = 0$

y hacemos

$(z^2 + \alpha z + \beta)(z^2 - \alpha z + \theta)=z^4 + \frac{85}{32} z^2 + \frac{755}{64}z + \frac{62189}{4096}$

$z^4 + (\beta + \theta-\alpha^2)z^2 + \alpha(\theta - \beta) z + \beta \theta=z^4 + \frac{85}{32} z^2 + \frac{755}{64}z + \frac{62189}{4096}$

luego comparamos coeficientes, y obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones

$\left\{\begin{matrix} \beta+\theta-\alpha^2=\frac{85}{32}\\ \\ \alpha(\theta-\beta)=\frac{755}{64}\\ \\ \beta \theta =\frac{62189}{4096} \end{matrix}\right.$

De las 2 primeras ecuaciones obtenemos

$\theta = \frac{85}{64}+\frac{\alpha^2}{2}+\frac{755}{128\, \alpha}$

$\beta =\frac{85}{64} +\frac{\alpha ^2}{2} - \frac{755}{128\, \alpha}$

reemplazamos esto en la tercera ecuación del sistema y deducimos

$\alpha^6+\frac{85}{16}\alpha^4+\frac{7225}{1024}\alpha^2-\frac{570025}{4096}=0$

y utilizamos la fórmula para 
                           $x^3+ax^2+bx+c=0$

$x=\sqrt[3]{-\frac{q}2+\sqrt{\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}2-\sqrt{\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}}}-\frac{a}3$

donde
$p=b-\frac{a^2}3$

$q=\frac{2a^3}{27}-\frac{ab}3+c$

$\alpha^2=\frac{\sqrt[3]{62176825 - 22650\sqrt{7534914}}}{96}+\frac{\sqrt[3]{22650\sqrt{7534914} + 62176825}}{96}-\frac{85}{48}$

Entonces ya tenemos $\theta$ y $\beta$

y luego 

$z_{1,2}=\frac{-\alpha\pm\sqrt{\alpha^2-4\beta}}{2}$

$z_{3,4}=\frac{\alpha\pm\sqrt{\alpha^2-4\beta}}{2}$

y al fin

$x=z+\frac{5}{8}$