Question

34. Calcula la distancia entre el punto P = (3,-5) y
la recta que pasa por el punto Q = (0, 2) y es
paralela a la recta de ecuación y = -2x + 6​

Answer 1

Respuesta:

es la de abajo espero te ayude =)

Explicación paso a paso:

Answer 2

Respuesta:

$d(P,r)=\frac{\sqrt{5} }{5}$

Explicación paso a paso:

Lo que tenemos que hacer primero es determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto Q = ( 0 , 2 ) y es paralela a la recta $y=-2x+6$

Nosotros sabemos que una recta es paralela con otra cuando tienen la misma pendiente ( m ) , es decir: $m_{1} =m_{2}$ , entonces:

¿Cuál sería la pendiente en $y=-2x+6$?

La pendiente en esta recta es el coeficiente que acompaña a la variable "x", es decir -2

Por lo tanto:

$m_{1} =-2$

Teniendo $m_{1}$ también podemos hallar $m_{2}$ que nos servirá para hallar la recta paralela a $y=-2x+6$

$m_{2} =-2$

Ahora calcularemos la recta paralela a $y=-2x+6$ , para eso usaremos el Modelo Punto - Pendiente que dice lo siguiente:

$y-y1=m(x-x1)$

Tenemos los siguientes datos del punto $Q(0,2)$:

$x1=0\\y1=2$

Tambien tenemos $m=-2$

Reemplazando:

$y-2=-2(x-0)\\y-2=-2x\\y=-2x+2$

Hemos encontrado la recta paralela a $y=-2x+6$.

Ahora debemos calcular la distancia del punto P a la recta $y=-2x+2$ que es lo que nos piden. Primero debemos saber que la forma de una recta general es: $Ax+By+C=0$

Entonces despejamos $y=-2x+2$ :

$2x+y-2=0$

Tenemos los valores:

$A=2\\B=1\\C=-2$

Tenemos el punto $P(3,-5)$ que nos da la siguiente información:

$x1=3\\y1=-5$

Teniendo todos esos datos podemos calcular la distancia de un punto a una recta usando la fórmula:

$d(P,r)=\frac{|Ax1+By1+C|}{\sqrt{A^2+B^2} }$

Reemplazando los datos:

$d(P,r)=\frac{|2(3)+1(-5)+(-2)|}{\sqrt{2^2+1^2} } \\d(P,r)=\frac{|6-5-2|}{\sqrt{4+1} } \\d(P,r)=\frac{|1-2|}{\sqrt{5} } \\d(P,r)=\frac{|-1|}{\sqrt{5} } \\d(P,r)=\frac{1}{\sqrt{5} }$

Multiplicando por $\sqrt{5}$ en el numerador y denominador:

$d(P,r)=\frac{1\sqrt{5} }{\sqrt{5}\sqrt{5} } \\d(P,r)=\frac{\sqrt{5} }{5 }$

HEMOS CALCULADO LA DISTANCIA