Necesito ayuda con mi tarea de matemática :( con algunos ejercicios de vectores...
Respuestas
Respuesta:
Ejercicio 1
Un vector {\overrightarrow{AB}} tiene componentes {(5,-2)}. Hallar las coordenadas de {A} si se conoce el extremo {B=(12,-3)}.
Ejercicio 2
Dado el vector{\overrightarrow{u}=(2,-1)} y dos vectores equipolentes a {\overrightarrow{u}, \overrightarrow{AB}} y {\overrightarrow{CD}}, determinar {B} y {C} sabiendo que {A=(1,-3)} y {D=(2,0)}.
Ejercicio 3
Calcular la distancia entre los puntos {A=(2,1)} y {B=(-3,2)}.
Ejercicio 4
Si {\vec{v}} es un vector de componentes {(3,4)}, hallar un vector unitario de su misma dirección y sentido.
Ejercicio 5
Hallar un vector unitario de la misma dirección que el vector {\vec{v}=(8,-6)}.
Ejercicio 6
Calcula las coordenadas de {D} para que el cuadrilátero de vértices {A=(-1,-2), B=(4,-1), C=(5,2)} y {D} sea un paralelogramo.
Ejercicio 7
Hallar las coordenadas del punto medio del segmento {AB}, de extremos {A=(3,9)} y {B=(-1,5)}.
Explicación paso a paso:
Ejercicio 1 resuelto
Un vector {\overrightarrow{AB}} tiene componentes {(5,-2)}. Hallar las coordenadas de {A} si se conoce el extremo {B=(12,-3)}.
1 Como no conocemos las coordenadas de {A}, las denotamos mediante {A=(x_A, y_A)}.
2 Sabemos que las coordenadas de un vector se obtienen a partir de restarle el punto inicial al punto final
{\begin{array}{rcl} B-A &=& \overrightarrow{AB} \\ &&\\ (12-x_{A}, -3-y_{A})&=& (5,-2) \end{array}}
3 Obtenemos dos ecuaciones
{12-x_{A}=5, \ \ \ \ \ \ -3-y_{A}=-2}
4 Resolvemos las dos ecuaciones y obtenemos que las coordenadas de {A} son
{A=(7,-1)}
Ejercicio 2 resuelto
Dado el vector{\overrightarrow{u}=(2,-1)} ydos vectores equipolentes a {\overrightarrow{u}, \overrightarrow{AB}} y {\overrightarrow{CD}}, determinar {B} y {C} sabiendo que {A=(1,-3)} y {D=(2,0)}.
1 Como {\overrightarrow{u}, \overrightarrow{AB}} son equipolentes, entonces {\overrightarrow{u} =\overrightarrow{AB}}.
2 Como no conocemos las coordenadas de {B}, las denotamos mediante {A=(x_B, y_B)}.
3 Sabemos que las coordenadas de un vector se obtienen a partir de restarle el punto inicial al punto final
{\begin{array}{rcl} B-A &=& \overrightarrow{AB} \\ &&\\ B-A &=& \overrightarrow{u} \\ &&\\ (x_{B}-1, y_{B}+3)&=& (2,-1) \end{array}}
4 Obtenemos dos ecuaciones
{x_{B}-1=2, \ \ \ \ \ \ y_{B}+3=-1}
5 Resolvemos las dos ecuaciones y obtenemos que las coordenadas de {B} son
{B=(3,-4)}
7 Resolviendo de la misma forma que para {B}, tenemos que {C=(0,1)}.
Ejercicio 3 resuelto
Calcular la distancia entre los puntos {A=(2,1)} y {B=(-3,2)}.
1 La fórmula para la distancia entre dos puntos es
{d(AB)=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}}
2 Sustituimos los valores de {A} y {B} fórmula de distancia entre dos puntos y obtenemos
{d(AB)=\sqrt{(-3-2)^{2}+(2-1)^{2}}=\sqrt{(-5)^{2}+(1)^{2}}=\sqrt{26}}
Ejercicio 4 resuelto
Si {\vec{v}} es un vector de componentes {(3,4)}, hallar un vector unitario de su misma dirección y sentido.
1 La fórmula para que un vector sea unitario es
{\vec{u}=\displaystyle\frac{1}{|\vec{v}|}\vec{v}}
2 Calculamos la magnitud de {\vec{v}}
{\vec{v}=\sqrt{(3)^{2}+(4)^{2}}=\sqrt{25}=5}
3 Sustituimos en la fórmula para obtener un vector unitario
{\vec{u}=\displaystyle\frac{1}{5}(3,4)=\left( \frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)}
Ejercicio 5 resuelto
Hallar un vector unitario de la misma dirección que el vector {\vec{v}=(8,-6)}.
1 La fórmula para que un vector sea unitario es
{\vec{u}=\displaystyle\frac{1}{|\vec{v}|}\vec{v}}
2 Calculamos la magnitud de {\vec{v}}
{\vec{v}=\sqrt{(8)^{2}+(-6)^{2}}=\sqrt{100}=10}
3 Sustituimos en la fórmula para obtener un vector unitario
{\vec{u}=\displaystyle\frac{1}{10}(8,-6)=\left( \frac{10}{8}, \frac{-6}{10}\right)=\left( \frac{4}{5}, \frac{-3}{5}\right)}
Ejercicio 6 resuelto
Calcula las coordenadas de {D} para que el cuadrilátero de vértices {A=(-1,-2), B=(4,-1), C=(5,2)} y {D} sea un paralelogramo.
Ejercicio de vertice de un paralelogramo
1 Los lados opuestos de un paralelogramo son iguales en magnitud y dirección, entonces tenemos
{\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}}
2 Como no conocemos las coordenadas de {D}, las denotamos mediante {D=(x_D, y_D)}.
3 Sustituimos los valores de los vértices del paralelogramo en la igualdad de vectores
{\begin{array}{rcl} \overrightarrow{AB}&=&\overrightarrow{CD} \\ &&\\ (4+1, -1+2) & = & (5-x_{D},2-y_{D}) \end{array}}
4 Obtenemos dos ecuaciones
{5=5-x_{D}, \ \ \ \ \ \ 1=2-y_{D}}
5 Resolviendo las ecuaciones obtenemos las coordenadas buscadas
{D=(0,1)}
Ejercicio 7 resuelto
Hallar las coordenadas del punto medio del segmento {AB}, de extremos {A=(3,9)} y {B=(-1,5)}.
1 Las fórmulas para las coordenadas del punto medio son
{x_{m}=\displaystyle\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \ \ \ \ \ \ \ y_{m}=\displaystyle\frac{y_{1}+y_{2}}{2}}
2 Sustituimos los valores de {A} y {B} en las dos fórmulas anteriores
{\begin{array}{l} x_{m}=\displaystyle\frac{3-1}{2}=1\\\\ y_{m}=\displaystyle\frac{9+5}{2}=7 \end{array}}
3 El punto medio es {P_{m}=(1,7)}.