Question

¿Cuántos ceros debe tener: N = 2000…00 para que el resultado tenga 56 divisores?.

Answer 1

Tienes lo siguiente:
$2\cdot 10^x=2\cdot(5^x\cdot2^x)=2^{x+1}\cdot5^x$

Para saber cuántos divisores tiene sólo le sumas 1 a los exponentes y los multiplicas entre sí:
$(x+1+1)(x+1)=(x+2)(x+1)=56 \\ x^2+3x+2=56 \\ x^2+3x-54=0 \\ (x+9)(x-6)=0 \\ x_1=-9 \\ x_2=6$

Tomas la solución positiva x=6
$2\cdot10^6=2000000$
tiene 56 divisores

Saludos!

Answer 2

El número debe tener 6 números ceros

¿Cómo calcular la cantidad de divisores?

Tenemos que la cantidad de divisores que un número tiene es igual al producto de los sucesores de los exponentes que se obtienen en la descomposición en factores primos

Cálculo de cantidad de ceros que debe tener para tener 56 divisores

Digamos que tiene "n" números ceros, entonces tenemos que:

N = 2000....00 = 2*(10)ⁿ = 2*5ⁿ*2ⁿ = 2ⁿ⁺¹*5ⁿ

Entonces el total de divisores es:

(n + 2)*(n + 1) = 56

n² + n + 2n + 2  = 56

n² + 3n - 54  = 0

(n + 9)(n - 6) = 0

Entonces como n debe ser positivo, tenemos que n = 6

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