Question

Calcula la ecuación del plano que pasa por el punto (0, 1, 2) y contiene la recta r'

Answer 1

El plano que contiene a la recta y al punto es x-3y+3z-3=0

Explicación paso a paso:

Si el plano contiene a la recta r', el vector director de esta es paralelo al plano, el mismo lo sacamos como el producto vectorial entre los vectores asociados a los planos que la definen (1,-1,1) y (1,1,-1):

$(1,-1,1)\times (1,1,-1)=det\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\1&-1&1\\1&1&-1\end{array}\right] \\\\(1,-1,1)\times (1,1,-1)=i((-1)(-1)-1.1)-j(1(-1)-1.1)+k(1.1-1(-1))\\\\(1,-1,1)\times (1,1,-1)=(0,2,2)$

Si contiene al punto (0,1,2), alcanza con hallar un punto cualquiera de la recta para definir un segundo vector paralelo al plano. Hagamos y=0:

x+z=2

x-z=1

Resolvemos restando entre sí las dos ecuaciones:

2z=1

z=1/2

Y si las sumamos queda:

2x=3

x=3/2.

Un segundo vector es el que une los puntos (0,1,2) y (3/2,0,1/2):

$v_2=(0-\frac{3}{2},1-0,2-\frac{1}{2})=(-\frac{3}{2},1,\frac{3}{2})$

El vector asociado al plano queda:

$(0,2,2)\times (-\frac{3}{2},1,\frac{3}{2})=det\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\0&2&2\\-\frac{3}{2}&1&\frac{3}{2}\end{array}\right] \\\\(0,2,2)\times (-\frac{3}{2},1,\frac{3}{2})=i(3-2)-j(0-(-3))+k(0-(-3))=(1,-3,3)$

El plano queda:

x-3y+3z+d=0

Reemplazamos el punto (0,1,2) en esta ecuación:

0-3.1+3.2+d=0

d=-3