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Explicación paso a paso:
Tienes que hallarlo con trigonometría. Las caras de un icosaedro ( 20 caras) son triángulos equiláteros, sabemos su altura y sabemos que cada uno de sus ángulos miden 60º.
Si dibujamos la cara del icosaedro y ponemos los datos en su sitio, la mitad de la cara es un triángulo rectángulo del que conocemos un ángulo y el cateto opuesto, por lo tanto:
sen60º = cateto opuesto / hipotenusa --> despejando la hipotenusa, tenemos:
hipotenusa = cateto opuesto / sen 60º
hipotenusa = 6 / 0,866
hipotenusa = 6,93
Como todos los lados son iguales, todos los lados miden lo mismo que la hipotenusa.
Ahora vamos a hallar el área del poliedro
A= área de la cara · nº de caras (A de la cara = b·h / 2 porque es un triángulo)
A = (6,93 · 6) / 2 · 20
A = 415,8 cm cuadrados.
¡Espero haberte ayudado!