Question

Estudia la posición relativa de los siguientes pares de planos:
a. n: 3x - y + 2z = 0
n': 6x - 2y + 4z - 1 = 0

b. n: 2x - y + 3z + 4 = 0
n': x + 3y - 22 + 1 = 0

C. n: 5x - 2y + 3z=0
n': 6x - 2y + 4z - 1 = 0

d. n: Z +1=0
n': z = 1
​

Answer 1

A partir de los vectores normales de los planos dados y la fórmula de cálculo del Coseno del ángulo formado por estos vectores, se llega a determinar que el ángulo entre los planos  n  y  n'  en cada caso.

Explicación paso a paso:

a. n:    3x  -  y  +  2z  =  0

   n':   6x  -  2y  +  4z  -  1  =  0

1.- El ángulo entre los planos  n  y  n'  se puede calcular por medio de la siguiente expresión:  

$\bold{Cos\alpha =\frac{|n1.n2|}{\sqrt{x1^{2}+y1^{2}+z1^{2} }*\sqrt{x2^{2}+y2^{2}+z2^{2} }}}$

donde  n1  y  n2  son los vectores normales de los planos  n  y  n',  respectivamente,  n1.n2  es el producto escalar entre los vectores y  α  es el ángulo formado por esos vectores.

2.- Los vectores normales se hallan fácilmente a partir de las ecuaciones generales de los planos, usando los coeficientes de las variables x, y, z:  

Plano  n:    n1  =  (3, -1, 2)  

Plano  n':   n2  =  (6, -2, 4)  

3.- Conociendo los vectores normales, obtenidos en 2.-, se calculan sus módulos y el producto escalar entre ellos:  

Módulo n1  =  $\sqrt{x1^{2}+y1^{2}+z1^{2} }$ = $\sqrt{(3)^{2}+(-1)^{2}+(2)^{2}}=\sqrt{14}$

Módulo n2  =  $\sqrt{x2^{2}+y2^{2}+z2^{2} }$  =  $\sqrt{(6)^{2}+(-2)^{2}+(4)^{2}}=\sqrt{56}$

n1.n2  =  x1*x2  +  y1*y2  +  z1*z2  =  (3)(6)  +  (-1)(-2) + (2)(4)  =  28

4.- Sustituimos los resultados obtenidos en 3.- en la expresión dada en 1.- para el cálculo del Coseno del ángulo entre los vectores normales:  

$Cos\alpha =\frac{28}{\sqrt{14}*\sqrt{56}}=\frac{28}{28}=1$

5.- Finalmente se obtiene el ángulo entre los planos  n y  n',  al calcular el Arco coseno del resultado obtenido en 4.-.  

α = ArcCos(1) = 0º               los planos son paralelos

b.    n:  2x  -  y  +  3z  +  4  =  0

      n':  x  +  3y  -  2z  +  1  =  0

Se repite el procedimiento en a.

Plano  n:    n1  =  (2, -1, 3)  

Plano  n':   n2  =  (1, 3, -2)  

Módulo n1  =  $\sqrt{(2)^{2}+(-1)^{2}+(3)^{2}}=\sqrt{14}$

Módulo n2  =  $\sqrt{(1)^{2}+(3)^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{14}$

n1.n2  =  (2)(1)  +  (-1)(3) + (3)(-2)  =  -7

$Cos\alpha =\frac{-7}{\sqrt{14}*\sqrt{14}}=-\frac{1}{2}$

α = ArcCos( $\bold{-\frac{1}{2}}$) = 120º          los planos forman un ángulo de 120° entre ellos

c.    n:  5x  -  2y  +  3z  =  0

      n':  6x  -  2y  +  4z  -  1  =  0

Se repite el procedimiento en a.

Plano  n:    n1  =  (5, -2, 3)  

Plano  n':   n2  =  (6, -2, 4)  

Módulo n1  =  $\sqrt{(5)^{2}+(-2)^{2}+(3)^{2}}=\sqrt{38}$

Módulo n2  =  $\sqrt{(6)^{2}+(-2)^{2}+(4)^{2}}=\sqrt{56}$

n1.n2  =  (5)(6)  +  (-2)(-2) + (3)(4)  =  46

$Cos\alpha =\frac{46}{\sqrt{38}*\sqrt{56}}=\frac{\sqrt{19}}{2*\sqrt{7}}$

α = ArcCos($\bold{\frac{\sqrt{19}}{2*\sqrt{7}}}$) ≅ 34,54º          los planos forman un ángulo de 34,54°, aproximadamente, entre ellos

d.   n:  z  +  1  =  0

     n':  z  =  1

Se repite el procedimiento en a.

Plano  n:    n1  =  (0, 0, 1)  

Plano  n':   n2  =  (0, 0, 1)  

Es claro que el ángulo    α = 0º          los planos son paralelos