Question

Dado un triángulo equilátero de perímetro 10 cm, se forma un segundo triángulo uniendo los puntos medios del primero. Asimismo, se forma un tercer triángulo juntando los puntos medios del segundo, y así sucesivamente. Determina la suma de todos los perímetros de los triángulos que se van formando hasta el vigésimo paso.

Answer 1

Respuesta:

Sabemos que dado el primer triángulo tenemos que el perímetro es de 10m  de modo que:

Perímetro = 3 Lado.

Lado = 10/3, entonces sí cada lado de el triángulo interno va desde el punto medio entonces:

Lado2 = √(10/6)²+(10/6)² = 5√2/6

Perímetro = 3 (5√2/6)

Lado de el tercer triángulo:

Lado 3 = √(5√2/12)²+(5√2/12)² = 5/6

De modo que cada lado interno va a ser: √2(10/3n)²

Entonces la sumatoria de los lados es: ∑√2(10/3n)² desde n=1 hasta ∞

Answer 2

Respuesta:

$S_{20}$ = $\frac{5}{2^{18}}$  ($2^{20}$ ‒ 1)

Lo que da como resultado: 19,99 cm aproximadamente.