Question

Un jardín rectangular tiene una superficie de 168m2 y su diagonal mide 25 m. Calcula el perimetro del jardín. Hacerlo con una ecuación bicuadrada.
Por favor!!
Gracias

Answer 1

Respuesta:

Perímetro = 62 m

Explicación paso a paso:

Cálculo de la superficie de un rectángulo:  base · altura

En nuestro caso:

base · altura = 168

y de ahí que:  base = 168/altura

La diagonal es la hipotenusa del triángulo rectángulo que forma junto con la base (b) y la altura (a), que son los catetos. Y aplicando el teorema de Pitágoras:

hipotenusa² = cateto1² + cateto2²

25² = b² + a²

Sustituyendo el valor de la base:

25² = (168/a)² + a²

625 = 28224/a² + a²

multiplicamos cada término por a² para eliminar el denominador:

625a² = 28224 + a⁴

a⁴ - 625a² + 28224 = 0

Si decimos que a² = x la ecuación bicuadrada se convierte en una de segundo grado:

x² - 625x + 28224 = 0

Para una ecuación de segundo grado de la forma ax² + bx + c = 0 las soluciones son:

$\quad x_{1,\:2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$\quad x_{1,\:2}=\frac{-(-625)\pm \sqrt{(-625)^2-4\cdot 28224}}{2}=\frac{625\pm \sqrt{277729}}{2}=\frac{625\pm 527}{2}$

x1 = 1152/2 = 576

x2 = 98/2 = 49

Como dijimos que x = a² tenemos:

a² = 576;  a = √576;  a = ±24

a² = 49;  a = √49;  a = ±7

Como a es una longitud, en este caso los resultados negativos no tienen sentido, con lo cual nos queda que los posibles valores son:

altura = 24  o la  altura = 7

Sustituyendo esos valores en:  base = 168/altura tenemos que:

si la altura = 24 entonces la base = 168/24 = 7

si la altura = 7 entonces la base = 168/7 = 24

El perímetro de un rectángulo es igual a la suma de sus lados:

perímetro = 24 + 24 + 7 + 7 = 62 m