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Respuesta: espero que te sirva mucho
Se llama función inversa o reciproca de \displaystyle f(x) a otra función \displaystyle f^{-1}(x) que cumple que:
Si \displaystyle f(a)=b , entonces \displaystyle f^{-1}(b)=a
Veamos un ejemplo a partir de la función \displaystyle f(x)=x+4
Definición de función inversa
Podemos observar que:
El dominio de \displaystyle f^{-1}(x) es el recorrido de \displaystyle f(x) .
El recorrido de \displaystyle f^{-1}(x) es el dominio de \displaystyle f(x) .
Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa.
Si dos funciones son inversas su composición es la función identidad.
\displaystyle (fo f^{-1})(x)=(f^{-1}of)(x)=x
Las gráficas de \displaystyle f(x) y \displaystyle f^{-1}(x) son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.
Gráfica de función inversa
Hay que distinguir entre la función inversa, \displaystyle f^{-1}(x) , y la inversa de una función: \displaystyle \frac{1}{f(x)} .
La inversa de la función \displaystyle f(x)=x+4 es
\displaystyle \frac{1}{x+4} .
La función inversa de \displaystyle f(x)=x+4 es \displaystyle f^{-1}(x)=x-4 porque la composición de las dos
funciones es la función identidad
\displaystyle g\cdot f=g\left [ f(5) \right ]=g\left ( x+4 \right )=x+4-4=x
Cálculo de la función inversa
Para construir o calcular la función inversa de una función cualquiera, se deben
seguir los siguientes pasos:
Paso 1: Se escribe la función con \displaystyle x e \displaystyle y .
Paso 2: Se despeja la variable \displaystyle x en función de la variable \displaystyle y .
Paso 3: Se intercambian las variables.
Ejemplos con ejercicios resueltos
Calcular la función inversa de:
1 \displaystyle f(x)=\frac{2x+3}{x-1}
Cambiamos \displaystyle f(x) por \displaystyle y
\displaystyle y=\frac{2x+3}{x-1}
Quitamos denominadores
\displaystyle y(x-1) = 2x+3
Resolvemos el paréntesis
\displaystyle xy-y=2x+3
pasamos al primer miembro las \displaystyle x
\displaystyle xy-2x = 3+y
Extraemos el factor común, es decir, la \displaystyle x
\displaystyle x(y-2) = 3+y
Ahora despejamos la \displaystyle x
\displaystyle x= \frac{y+3}{y-2}
Cambiamos x por \displaystyle f^{-1}(x) y obtendremos la función inversa
\displaystyle f^{-1}(x)=\frac{x+3}{x-2}
Vamos a comprobar el resultado para \displaystyle x=2
\displaystyle f(2)=\frac{7}{1}=7
\displaystyle f^{-1}(7)=\frac{10}{5}=2
Como \displaystyle f(2) nos resulta \displaystyle 7 y \displaystyle f^{-1}(7) nos resulta \displaystyle 2 , eso significa que la función inversa es correcta
2 \displaystyle f(x)=\sqrt[3]{x-1}
Cambiamos \displaystyle f(x) por \displaystyle y
Elevamos al cubo en los dos miembros
\displaystyle y=\sqrt[3]{x-1}
\displaystyle y^{3}=x-1
Despejamos la \displaystyle x y cambiamos \displaystyle x por \displaystyle f^{-1}(x)
\displaystyle x=y^{3}+1
\displaystyle f^{-1}(x)=x^{3}+1
3 \displaystyle f(x)=x^{2}
Cambiamos \displaystyle f(x) por \displaystyle y
Despejamos la \displaystyle x
\displaystyle y=x^{2}
\displaystyle x=\pm \sqrt{y}
\displaystyle f^{-1}(x)=\pm \sqrt{y}
No es una función.
No existe función inversa porque cualquier elemento tiene dos imágenes y una función puede
tener a lo sumo una imagen
Explicación paso a paso: