Se quiere construir un estante en forma de caja sin tapa en la esquina de una fabrica, el cual estará hecho con una hoja rectangular de metal, cuyo ancho es de 3 m y su largo de 9 m. El estante se obtiene al retirar un cuadrado de lado x de la hoja rectangular original con las medidas descritas en un inicio y luego doblando los lados hacia arriba, tal como muestra la figura. Si la expresión matemática que permite representar la capacidad de este estante es una función cúbica de la forma que muestra la figura. Determine la suma S de los coeficientes del polinomio y también el dominio
de la función V(x). De como respuesta la expresión: p+q+S
Respuestas
La suma de los coeficientes de V es 16 y su dominio es el intervalo (0, 3)
Para poder resolver esta pregunta simplemente debemos resolver un producto notable.
Como se sabe el volumen de una caja es base * altura = ancho * largo * alto Por lo que debemos hallar las medidas de esta caja
de la hoja rectangular, se ve que si se quita un cuadrado de longitud x, el ancho pasa a ser 3 - x y el largo 9 - x , además la altura es x, por lo que el volumen sería
Volumen = ancho * largo * alto = (3 - x ) * ( 9 - x ) * x
Resolviendo primero el producto ( 3 - x ) *( 9 - x ) = 3 * 9 - 3x - 9x + x² = x² - 12x + 27
Luego si multiplicamos esto por x, tenemos
V(x) = ( x² - 12 x + 27 ) * x = x³ - 12x² + 27x
Ahora bien, vemos que los coeficientes del polinomio son a = 1, b = -12, c = 27, así que S = 1 - 12 + 27 = 16
Como el volumen de la figura siempre debe ser positivo, y x debe ser menor a 3, pues físicamente no no puede ser mayor a esta medida, por lo tanto, se tiene lo siguiente
x*( 3 - x )*( 9 - x ) > 0
Esto da como solución ( 0, 3 ) ∪ ( 9, ∞ ), pero la segunda parte no tiene sentido físico porque si se hace x > 9, superaría las medidas de la hoja, por lo que el dominio de V es el intervalo ( 0, 3 )