Cinco enteros se escriben en círculo, de modo que no hay dos o tres números adyacentes cuya suma sea divisible por 3. De los cinco ¿cuántos son divisibles por 3?
Respuestas
Respuesta:
2
Explicación paso a paso:
Nombremos los 5 enteros alrededor del c´ırculo a, b, c, d y e... Sabemos que al dividir cualquier entero entre 3 hay tres opciones para el residuo: 0, 1 o 2. Si todos los n´umeros dejan
el mismo residuo al ser dividido entre 3, entonces la suma de cualesquiera 3 n´umeros consecutivos es m´ultiplo
de 3, por lo que no todos los n´umeros pueden tener el mismo residuo.
Adem´as supong´amos que a deja residuo 1 al ser dividido entre 3 y que b deja residuo 2 al ser dividido
entre 3, entonces a + b es m´ultiplo de tres, lo que no se puede. De esto ning´un n´umero con residuo 1 puede
estar al lado de un n´umero con residuo 2. De esto hay al menos un n´umero con residuo 0 al dividirlo entre
3. Digamos que a es dicho n´umero.
Si b fuera m´ultiplo de 3, al ser a m´ultiplo de 3, tendr´ıamos que a+b ser´ıa m´ultiplo de 3. Por esto b no
es m´ultiplo de 3. De la misma forma tenemos que e no es m´ultiplo de 3.
Ahora dividiremos el problema en dos casos distintos:
1. c es m´ultiplo de 3. Por motivos parecidos a los ya argumentados, d no puede ser un m´ultiplo de 3. En
este caso hay dos m´ultiplos de 3 escritos alrededor del c´ırculo, a y c.
2. c no es m´ultiplo de 3. Como no pueden estar al lado un n´umero con residuo 1 y un n´umero con
residuo 2, entonces c debe dejar el mismo residuo que b. Si d dejara el mismo residuo que c, entonces
tendr´ıamos que b + c+ d es m´ultiplo de 3, lo cual no se puede, as´ı que d deja un residuo distinto a
c.
Si d no fuera m´ultiplo de 3, entonces entre c y d habr´ıa un n´umero que deja residuo 1 y otro que
deja residuo 2, lo cual no se puede. As´ı tenemos que d debe ser m´ultiplo de 3. En este caso hay dos
m´ultiplo de 3 escritos alrededor del c´ırculo, a y d.
De esta forma hemos visto que en cualquier caso hay dos n´umeros divisibles entre 3 alrededor del c´ırculo.