Los siguientes datos de programa de programación lineal se usan para la planificación mensual de las tareas de una planta donde se fabrican 3 productos (X1, X2 y X3) y que se procesan en áreas diferentes con disponibilidades horarias de producción mensuales respectivas de 48, 20, 8 y 5 horas al mes.
Maximizar: Z = 60 X1 + 30 X2 + 20 X3
Sujeto a:
8 X1 + 6 X2 + 1 X3 ≤ 48
4 X1 + 2 X2 + 3/2 X3 ≤ 20
2 X1 + 3/2 X2 + 1/2 X3 ≤ 8
1 X2 ≤ 5
X1, X2, X3 ≥ 0
Respuestas
La solución máxima de la función objetivo es
Z = 320
cuando se producen 16 unidades del producto 3.
Explicación paso a paso:
Llamaremos:
X1 = unidades a producir de producto 1
X2 = unidades a producir de producto 2
X3 = unidades a producir de producto 3
Función objetivo: Maximizar Z = 60X1 + 30X2 + 20X3
Condiciones del problema:
8X1 + 6X2 + X3 ≤ 48
4X1 + 2X2 + 3/2 X3 ≤ 20
2X1 + 3/2 X2 + ½ X3 ≤ 8
X2 ≤ 5
Condiciones de no negatividad:
X1 ≥ 0
X2 ≥ 0
X3 ≥ 0
1.- Las condiciones del problema se escriben como igualdades agregando variables de holgura:
Función objetivo: Maximizar
Z(x1,x2,x3,h1,h2,h3,h4) = 60X1 + 30X2 + 20X3 + 0h1 + 0h2 + 0h3 + 0h4
Condiciones del problema:
8X1 + 6X2 + X3 + h1 = 48
4X1 + 2X2 + 3/2 X3 + h2 = 20
2X1 + 3/2 X2 + 1/2 X3 + h3 = 8
X2 + h4 = 5
2.- Se construye una tabla con los coeficientes de las condiciones y la función objetivo (en negativo):
Se obtiene la primera solución: Z(0,0,0,48,20,8,5) = 0
3.- Se transforma la tabla para obtener una nueva solución. Para ello:
3.1.- Se selecciona la columna pivote aquella con el número negativo de mayor valor absoluto en la última fila.
Primera columna.
3.2.- Se selecciona la fila pivote aquella con el menor cociente positivo entre la columna B y la columna pivote.
Los cocientes positivos serian:
48/8 = 6 20/4 = 5 8/2 = 4
Tercera fila.
3.3.- El elemento donde se cruzan la fila y la columna pivote es el elemento pivote. Este se transforma en uno (1) dividiendo la fila pivote entre el valor del elemento pivote (2).
3.4.- Se anula el resto de la columna pivote usando el uno como pivote.
Se multiplica fila 3 por (-8) y se suma a la fila 1.
Se multiplica fila 3 por (-4) y se suma a la fila 2.
Se multiplica fila 3 por (60) y se suma a la fila 5.
3.5.- Se intercambian las variables de la columna pivote y la fila pivote,
Se obtiene la segunda solución: Z(4,0,0,16,4,0,5) = 240
4.- Se revisa la última fila de la tabla y, como hay valores negativos, se repite el paso 3.
4.1.- Tercera columna es columna pivote.
4.2.- Tercera fila es fila pivote, ya que es el único cociente positivo:
4/(1/4) = 16
4.3.- El elemento pivote es el número 1/4; se divide la fila pivote por 1/4.
4.4.- Se anula el resto de la columna pivote.
Se multiplica fila 3 se suma a la fila 1.
Se multiplica fila 3 por (1/2) y se suma a la fila 2.
Se multiplica fila 3 por (5) y se suma a la fila 5.
4.5.- Se intercambian las variables de la columna pivote y la fila pivote,
Se obtiene la tercera solución: Z(0,0,16,32,12,0,5) = 320
5.- Se revisa la última fila de la tabla y, ya que no hay valores negativos, se selecciona la mejor solución.
La solución máxima de la función objetivo es
Z = 320
cuando se producen 16 unidades del producto 3.