Respuestas
Explicación:
Un conjunto de bolas elásticas suspendidas, en fila y en contacto unas con las otras, se puede describir como un sistema de masas puntuales que interaccionan a través de muelles especiales. El exponente de la ley de la fuerza en función del desplazamiento es 1.5 de acuerdo con la teoría de Hertz.
Choque de dos bolas
Consideremos primero el caso más simple, la colisión entre una bola de masa m incidente con velocidad v contra otra bola idéntica que está en reposo.
Por la conservación del momento lineal
mv=mv1+mv2
Por la conservación de la energía
La solución de este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es
v2=0, v1=v que son los datos de partida y v2=v, v1=0
En un choque de dos bolas idénticas, una de las cuales está en reposo, hay un intercambio de momento lineal, la primera se lo cede a la segunda, quedando aquella en reposo.
En una sucesión de bolas, la primera choca con la segunda, la segunda bola choca con la tercera, etc. El momento lineal de la bola incidente se transfiere a la siguiente y así sucesivamente. Esto solamente ocurre si las bolas no están en contacto, en caso contrario el comportamiento es complejo.
La teoría de la colisión entre dos esferas elásticas se debe a H. Hertz y se explica en el Volumen 7 del Curso de Física Teórica de Landau y Lifshitz. La conclusión es que la ley de de la fuerza de interacción no es lineal
donde k está relacionado con el módulo del Young, el coeficiente de Poisson del material elástico y el radio de la bola. Para una bola de acero de 5 cm de radio, k=1.638·1010 N/m3/2.
x es la deformación x=2·R-d, siendo R el radio de las bolas y d la distancia entre centros.
Cadena de n-bolas en contacto
En este apartado, vamos a describir las ecuaciones del movimiento del centro de masas (c.m.) de cada una de las bolas, que forman parte de una cadena de n bolas elásticas en contacto.
Consideremos las fuerzas entre dos partículas unida por un muelle elástico.
En la parte superior se muestra el muelle sin deformar y en la parte inferior, el muelle comprimido (a la izquierda) y estirado (a la derecha). Las deformaciones del muelles son Δx=x-x0, donde x es la posición de la primera partícula (azul) cuando el muelle se ha deformado, y x0 es la posición de dicha partícula cuando el muelle está sin deformar. Lo mismo cabe decir de Δy. Las fuerza de interacción es el producto de la constante k del muelle por la deformación del muelle o diferencia entre la longitud sin deformar y la longitud del muelle deformado k(|Δx|+|Δy|) .
Consideremos un conjunto de cinco partículas unidas por muelles elásticos, en un instante inicial en el que los muelles están sin deformar (arriba), y en un instante tal (abajo) en el que la primera partícula se ha desplazado x1, la segunda x2, la tercera x3, la cuarta x4 y la quinta x5. Las fuerzas sobre cada una de las partículas se indican en la figura, y se señalan los pares de fuerzas: la primera partícula ejerce una fuerza sobre la segunda y la segunda ejerce una fuerza igual y de sentido contrario sobre la primera.
Supongamos que los muelles no son lineales, y su comportamiento está de acuerdo a una ley de fuerza cuyo exponente es r=3/2. Las ecuaciones del movimiento de cada una de las partículas son
Sumando miembro a miembro, comprobamos que la aceleración del centro de masas es cero, como corresponde a un sistema aislado formado por cinco partículas interactuantes.
El ejemplo de una cadena de cinco bolas se puede generalizar a una cadena de n bolas.
Tenemos un sistema de n ecuaciones diferenciales acopladas que se resuelve por procedimientos numéricos con las siguientes condiciones iniciales
En el instante t=0,
Todas las partículas están en sus posiciones de equilibrio. xi=0, i=1...n
Todas las partículas están en reposo, excepto la partícula incidente que lleva velocidad v en el instante t=0 en el que choca con la segunda partícula. v1=v, vi=0, i=2…n
Simulación
La simulación del comportamiento de la cadena de n-bolas idénticas se ha dividido en tres partes:
Se desplaza la primera bola de la posición de equilibrio y se suelta. Si el c.m. de la bola asciende una altura h, la velocidad v de la primera bola en el momento en el que choca con la segunda bola en reposo es