Question

La medida de la longitud de unas varillas están en progresión aritmética. Francisco las ordena sobre el piso desde la más corta hasta la más larga. En esta posición, la segunda varilla mide 19 cm, mientras que la cuarta varilla mide 27 cm. a) ¿Cuánto mide la varilla que se encuentra en la posición 25? b) ¿Cuál es la expresión que representa al término general de esta progresión?

Answer 1

PROGRESIONES ARITMÉTICAS (PA). Ejercicios.

En este ejercicio nos dan el valor de dos términos, el segundo y el cuarto, y a partir de ellos hay que calcular el valor del término nº 25 y también su término general.

Lo resolveremos al revés, es decir, obtendré su término general y con esa expresión podré saber el valor del término 25º.

Para ello hay que usar la fórmula de interpolación de términos en una progresión aritmética a partir de la cual sabré el valor de la diferencia "d" entre términos consecutivos.

Interpolar  ---o intercalar---  términos en una PA se refiere justamente a lo que tenemos aquí ya que al darnos el 2º y 4º términos, vemos que hay que meter un término intermedio que sería el 3º, ok?  A esta cantidad de términos a interpolar la llamo "m" a efectos de usar esa fórmula.

Y para esa misma fórmula llamaré "a" al primer término conocido en orden ascendente, es decir, el segundo término que sería  a₂ = a, y el cuarto término que sería  a₄ = b, de tal modo que tenemos estos datos:

a₂ = 19 = a

a₄ = 27 = b

m = 1  (cantidad de términos a interpolar)

d = diferencia entre términos consecutivos que sabremos aplicando esta fórmula la cual dice:

$d=\dfrac{b-a}{m+1} =\dfrac{27-19}{1+1} =\dfrac{8}{2} =4$

Siendo esta la diferencia entre términos consecutivos, si la restamos al segundo término que vale 19 obtenemos el primer término de esta PA es decir:

a₁ = 19 - 4 = 15

Y ya con este dato conocido, usamos la fórmula del término general para este tipo de progresiones y obtenemos la expresión que identifica a esta progresión en concreto. Para ello sustituimos los datos conocidos.

La fórmula dice:   $a_n=a_1+(n-1)*d$

Sustituyendo:  

$a_n=15+(n-1)*4\\ \\ a_n=15+4n-4\\ \\ a_n=4n+11$

Y ahí queda la expresión que nos pide el ejercicio.

Con ella ya resulta muy sencillo saber el valor del 25º término (a₂₅) ya que solo hay que sustituir "n" por ese número y resolver:

$a_{25} =4*25+11=111$

El 25º término tiene un valor de 111

Saludos.