.- El tiempo de reparación de una máquina en un taller de mantenimiento tiene una distribución aproximadamente exponencial, con media 55 minutos.
a) Hallar la probabilidad de que el tiempo de reparación sea menor que 18 minutos.
b) El costo de reparación es de $100 por cada media hora o fracción. ¿Cuál es la probabilidad de que una reparación cueste $200?
c) Para efectuar un calendario, ¿cuánto tiempo se debe asignar a cada reparación para que la probabilidad de atender todas las reparaciones sea del 95%?
Respuestas
La distribución exponencial: es una distribución de probabilidad continua que es una caso particular de una distribución gamma con k = 1 y cuyo parámetro es: λ positivo.
La función de distribución acumulada:
F(X≤ x) = 1 - exp(-λ*x) para x ≥ 0, 0 en otros casos.
La media de la distribución exponencial es
E(x) = 1/λ
Tenemos que: como es una distribución de probabilidad continua la probabilidad en un punto es cero.
La media es de 55 min
λ = 1/55
a) La probabilidad de que sea menos que 18 min
P(X < 18) = P(x ≤ 18) = 1 - exp((-1/55)*18)) ≈ 0.279112889
b) Si el costo de reparación es de $100: por cada media hora, entonces por una hora se paga $200 y una hora es 60 min. como es continua la probabilidad de que sean exacmente 60 min es 0, ahora la probabilidad de que no alcance los 300$ y sea mayor o igual a $100
P(60 ≤ X ≤ 90) = P(X ≤ 90) - P(X ≤ 60)
P(X ≤ 90) = 1 - exp((-1/55)*90)) = 0.805313291
P(X≤ 60) = 1 - exp((-1/55)*60)) = 0.664089018
P(60 ≤ X ≤ 90) = 0.805313291 - 0.664089018 = 0.141224272
Queremos que La probabilidad de atender todas en un tiempo "n" sea de 95% = 0.95
P(X ≤ n) = 0.95 = 1 - exp((-1/55)*n))
1 - 0.95 = exp((-1/55)*n))
0.05 = exp((-1/55)*n))
ln(0.05) = -n/55
-55*ln(0.05) = n
n = 164.765275 min