Question

Se va a construir un tanque de gasolina de forma cilíndrica que tenga un área de 16,300 centímetros cuadrados con un volumen máximo. ¿Cuáles deben ser las medidas del radio y la altura?

Answer 1

Considero el cilindro con sus dos tapas.

Radio = r, altura = h

Su volumen es V = π r² h

Su superficie total es S = 2 π r² + 2 π r h = 16300

Despejamos h y reemplazamos en V

h = [(16300 - 2 π r²) / (2 π r)] = 16300 / (2 π r) - r

V = π r² [16300 / (2 π r) - r]

V = 8150 r - π r³

Tenemos el volumen en función del radio.

Una función es máxima en los puntos en que su primera derivada es nula y la segunda es negativa en esos puntos.

V' = 8150 - 3 π r²

V'' = - 6 π r, negativa; hay máximo en V' = 0

8150 - 3 π r² = 0

r = √[8150 / (3 π)] ≅ 29,4 cm

La altura es:

h = 16300 / (2 π 29,4) - 29,4 ≅ 58,8 cm

Se observa que h = 2 r

El volumen máximo es:

V = π . 29.4² . 58,8 ≅ 160000 cm³

Se adjunta un gráfico r - V donde se destacan el radio y el volumen máximo.

Mateo